[4 pts.] Uma partícula de massa m e carga elétrica q entra dentro de um solenoide cilíndrico infinito que contém em seu eixo de simetria um fio carregado. A partícula então experimenta um campo eletromagnético dado por B=B0 z e E=E0(rho0 / rho) rho, onde B0, E0 e rho0 são constantes.
(d) Mostre que a energia mecânica da partícula é conservada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa $ m $ e carga $ q $ que entra num solenoide com campos magnético e elétrico específicos. Nosso objetivo aqui é mostrar que a energia mecânica dessa partícula é conservada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os campos eletromagnéticos e como eles influenciam a energia da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica de uma partícula é a soma da sua energia cinética e da energia potencial. Para ver se essa energia é conservada, a gente precisa analisar como os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ atuam sobre a partícula.

Passo 3

A força que atua na partícula devido aos campos eletromagnéticos é dada pela Lei de Lorentz:
F = q (E + v times B)
Aqui, $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula. Essa força vai determinar como a partícula se move e, consequentemente, como sua energia muda.

Passo 4

A energia mecânica $ E_{mecânica} $ é dada por:
Emecânica â
onde $ \frac{1}{2} m v^2 $ é a energia cinética e $ U $ é a energia potencial. Queremos mostrar que $ \frac{dE_{mecânica}}{dt} = 0 $, ou seja, que essa energia não muda com o tempo.

Passo 5

Vamos calcular a derivada temporal da energia mecânica:
dEmecânicadt = m v cdot dvdt + dUdt â
Sabemos que $ \frac{d\vec{v}}{dt} $ é a aceleração, que pela segunda lei de Newton, é $ \frac{\vec{F}}{m} $. Então:
dvdt â

Passo 6

Substituindo a força de Lorentz:
dEmecânicadt = v cdot [q (E + v times B)] + dUdt â
Vamos expandir isso:
dEmecânicadt = q v cdot E + q v cdot (v times B) + dUdt â

Passo 7

Observamos que $ \vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{B}) = 0 $ porque o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de si mesmo com outro vetor é sempre zero. Então, sobra:
v cdot (v times B) = 0 â

Passo 8

Se a energia potencial $ U $ for tal que:
U
Então,
dUdt = -q v cdot E â
Isso mostra que a derivada da energia mecânica é zero, ou seja, a energia mecânica é conservada.

Resposta

A energia mecânica da partícula é conservada porque a derivada temporal dela é zero.

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