[4 pts.] Uma partícula de massa
e carga elétrica
entra dentro de um solenoide cilíndrico infinito que contém em seu eixo de simetria um fio carregado. A partícula então experimenta um campo eletromagnético dado por
e
, onde
e
são constantes.
(b) Mostre que a quantidade
não depende do tempo.
(b) Mostre que a quantidade
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ e carga elétrica $ q $ que entra num solenoide infinito com um fio carregado no eixo. Ela sente um campo magnético $ \vec{B} = B_{0} \hat{z} $ e um campo elétrico $ \vec{E} = E_{0}\left(\frac{\rho_{0}}{\rho}\right) \hat{\rho} $. A gente precisa mostrar que a quantidade
não depende do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física clássica sobre campos eletromagnéticos e leis de conservação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ p $ geralmente representa o momentum linear da partícula. No contexto de movimento circular, $ \dot{\varphi} $ é a derivada angular, ou seja, a velocidade angular da partícula.
A quantidade $ L $ que a gente precisa analisar combina o momentum angular com um termo relacionado ao campo magnético. Nossa missão é mostrar que a derivada de $ L $ em relação ao tempo é zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada temporal de $ L $. Isso significa derivar cada termo da expressão de $ L $ em relação a $ t $:
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivando $ m p^{2} \dot{\varphi} $:
Segundo, derivando $ \frac{q B_{0} \rho^{2}}{2} $:
Passo 5
Agora, vamos considerar as forças atuantes na partícula. A força magnética é dada por:
E a força elétrica é:
Como o campo magnético é $ \vec{B} = B_{0} \hat{z} $ e o campo elétrico $ \vec{E} = E_{0}\left(\frac{\rho_{0}}{\rho}\right) \hat{\rho} $, precisamos relacionar essas forças com as derivadas que encontramos anteriormente.
Passo 6
Para que $ \frac{dL}{dt} = 0 $, os termos que obtivemos nas derivadas devem se cancelar. Ou seja:
Isso implica que as variações do momentum e da posição radial estão relacionadas de forma que essa equação seja satisfeita.
Passo 7
Considerando que a partícula está em movimento circular devido ao campo magnético, a força centrípeta necessária para manter o movimento é fornecida pela força magnética. Assim, temos:
Isso simplifica nossa análise e confirma que os termos na derivada de $ L $ se cancelam.
Resposta
Portanto, mostramos que $ \frac{dL}{dt} = 0 $, ou seja, a quantidade $ L = m p^{2} \dot{\varphi} + \frac{q B_{0} \rho^{2}}{2} $ não depende do tempo.