Uma bloco de massa , acha-se em repouso na origem do eixo Ox , quando passa a agir sobre ele uma força resultante , paralela ao eixo. Sabendo que se comporta de a , com intensidade constante e igual a de em diante, adquire uma intensidade que obedece à função
(a) Determine a velocidade do bloco no ponto .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa inicialmente em repouso na origem do eixo Ox. Uma força resultante começa a atuar sobre ele, paralela ao eixo. De a , a força é constante e igual a . A partir de , a força varia conforme a função . Precisamos encontrar a velocidade do bloco quando ele estiver em . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de trabalho e energia, além das leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pela força constante de quando o bloco se move de a . O trabalho () é dado por:
onde é a força e é a distância.
Passo 3
Substituindo os valores:
Esse é o trabalho realizado pela força constante nos primeiros .
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força variável de quando o bloco se move de a . Para forças variáveis, o trabalho é dado pela integral da força em relação à distância:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
W2 = 360(18 - 10) - 60(18^2 - 10^22)
W2 = 360(8) - 60(324 - 1002)
W2 = 2880 - 60(2242)
W2 = 2880 - 60(112) = 2880 - 6720 = -3840,J
O trabalho realizado pela força variável é -3840,J. O sinal negativo indica que a força está realizando trabalho contrário ao movimento.
Passo 6
Agora, vamos somar os trabalhos realizados nas duas partes:
Wtotal = W1 + W2 = 1200,J - 3840,J = -2640,J
O trabalho total realizado sobre o bloco é -2640,J.
Passo 7
Segundo o teorema do trabalho e da energia, o trabalho total realizado sobre o objeto é igual à variação da energia cinética:
Wtotal = De
Como o bloco parte do repouso, Ki = 0, então:
Wtotal = Kf
Passo 8
Portanto, a energia cinética final do bloco é:
Kf = -2640,J
No entanto, a energia cinética não pode ser negativa. Isso indica que o trabalho realizado líquido foi realizado contra o movimento, o que sugere que o bloco não alcança 18,0,m ou que há algum erro nos cálculos. Revisando os passos, percebemos que a força após 10,0,m está diminuindo, mas ainda aplicando força positiva. Vamos refazer o cálculo do trabalho W2.
Passo 9
Corrigindo o cálculo do trabalho W2:
W2 = 360,x - 30,x^2 |10^18
Substituindo os limites:
W2 = [360(18) - 30(18)^2] - [360(10) - 30(10)^2]
W2 = [6480 - 9720] - [3600 - 3000]
W2 = [-3240] - [600] = -3840,J
O resultado permanece o mesmo, indicando que o trabalho total negativo sugere que o bloco não alcança 18,0,m com a energia fornecida.
Resposta
Com base nos cálculos, o bloco não adquire velocidade suficiente para atingir x=18,0,m. Portanto, a velocidade no ponto x=18,0,m é 0,m/s.