Uma bloco de massa m=2 0 k g, acha-se em repouso na origem do eixo Ox , quando passa a agir sobre ele uma força resultante F, paralela ao eixo. Sabendo que F se comporta de x=0 a 10,0 m, com intensidade constante e igual a 120 N ; E de x=10,0 m em diante, F adquire uma intensidade que obedece à função F(x)=360-60 x
(b) Se a partir de x=18,0 m a força é retirada, e o bloco começa a comprimir uma mola de constante elástica k=200 N / m; qual o valor De de compressão da mola?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Utilizados
Estamos trabalhando com um bloco de massa m = 20kg inicialmente em repouso na origem do eixo Ox. Uma força resultante F age sobre ele de forma paralela ao eixo. Essa força tem duas fases:
  1. De x = 0 a x = 10,0m: A força é constante e igual a F = 120N.
  2. A partir de x = 10,0m: A força varia conforme a função F(x) = 360 - 60x.
No item (b), a partir de x = 18,0m, a força é retirada e o bloco começa a comprimir uma mola com constante elástica k = 200N/m. Precisamos encontrar o valor da compressão da mola, De.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia, especialmente o trabalho realizado pela força e a energia potencial da mola.

Passo 2

Calcular o Trabalho da Força de x = 0 a x = 10,0m
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pela força constante F = 120N no intervalo de 0 a 10,0m. O trabalho ( W) de uma força constante é dado por:
W = F cdot d
onde:
  • F é a força,
  • d é a distância ao longo da qual a força é aplicada.
Aplicando os valores:
W1 = 120N times 10,0m = 1200J

Passo 3

Calcular o Trabalho da Força de x = 10,0m a x = 18,0m
Agora, a força varia com a posição segundo a função F(x) = 360 - 60x. O trabalho de uma força variável é calculado pela integral da força em relação à distância:
W2 = integral10^18 F(x) , dx = integral10^18 (360 - 60x) , dx
Vamos resolver essa integral:
W2 = [360x - 30x^2]10^18 = (360 times 18 - 30 times 18^2) - (360 times 10 - 30 times 10^2)
Calculando cada termo:
Para x = 18:
360 times 18 = 6480
30 times 18^2 = 30 times 324 = 9720
Para x = 10:
360 times 10 = 3600
30 times 10^2 = 30 times 100 = 3000
Substituindo:
W2 = (6480 - 9720) - (3600 - 3000) = (-3240) - (600) = -3840J
Nota: O trabalho negativo indica que a força está realizando trabalho contra o movimento.

Passo 4

Somar os Trabalhos Realizados nos Dois Intervalos
O trabalho total ( Wtotal) realizado pela força desde x = 0 até x = 18,0m é a soma dos trabalhos nos dois intervalos:
Wtotal = W1 + W2 = 1200J + (-3840J) = -2640J
Interpretação: O trabalho total negativo significa que, no geral, a força está retirando energia do sistema.

Passo 5

Relacionar o Trabalho Total com a Energia Cinética no Ponto x = 18,0m
De acordo com o Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética ( De):
Wtotal = De
Como o bloco parte do repouso:
KEinicial = 0
Portanto:
KEfinal = Wtotal = -2640J
Entretanto, a energia cinética não pode ser negativa. Isso indica que a força realizada resultou em redução da velocidade do bloco, mas como estamos interessados na velocidade no ponto x = 18,0m antes de comprimir a mola, devemos reconsiderar o cálculo do trabalho.
Vamos refazer o cálculo considerando que o bloco está sendo acelerado pela força até x = 18,0m.
Revisão:
Na verdade, o trabalho total deveria aumentar a energia cinética do bloco. Parece que houve um erro no cálculo do trabalho da força variável. Vamos corrigir isso.

Passo 6

Recalcular o Trabalho da Força de x = 10,0m a x = 18,0m
Vamos refazer a integral:
W2 = integral10^18 (360 - 60x) , dx = [360x - 30x^2]10^18
Calculando para x = 18:
360 times 18 = 6480
30 times 18^2 = 30 times 324 = 9720
Para x = 10:
360 times 10 = 3600
30 times 10^2 = 30 times 100 = 3000
Substituindo:
W2 = (6480 - 9720) - (3600 - 3000) = (-3240) - (600) = -3840J
Observação: O trabalho total sendo negativo sugere que a força está removendo energia, o que não faz sentido no contexto do problema. Parece que há uma inconsistência no enunciado ou na interpretação. Vamos considerar que a força aplicada está fazendo o bloco mover-se contra uma resistência.

Passo 7

Encontrar a Energia Cinética no Ponto x = 18,0m
Assumindo que o trabalho total é positivo e contribui para a energia cinética:
KE = Wtotal = 1200J + (-3840J) = -2640J
Como a energia cinética não pode ser negativa, isso indica que o bloco não teria movimento nesse ponto. Portanto, parece que há um erro na abordagem.
Vamos usar o método da energia potencial elástica diretamente.

Passo 8

Determinar a Compressão da Mola, De
Quando a força é retirada em x = 18,0m, o bloco irá comprimir a mola. A energia cinética do bloco será convertida em energia potencial elástica da mola:
KE = 12 k De
Como o bloco estava em repouso inicialmente e foi acelerado pela força até x = 18,0m, precisamos calcular a energia transferida para a mola.
Entretanto, devido às inconsistências anteriores, vamos concluir que a compressão da mola, De, é zero, já que o bloco não possui energia cinética disponível para comprimir a mola.

Resposta

A compressão da mola é De.

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