4ª Questão. Calcule e explique o resultado em cada item
\frac{d}{d x} \int_{0}^{1} e^{\operatorname{arctg} x} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos
\frac{d}{dx}\int_{0}^{1}e^{\operatorname{arctg}x}\,dx.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra de diferenciação de uma integral definida cujos limites são constantes.

Passo 2

Observamos que a variável de integração x dentro da integral é apenas um nome de “variável fictícia”. Para deixar claro que a integral não depende de x como parâmetro, renomeamos essa variável para, por exemplo, t:
\int_{0}^{1}e^{\operatorname{arctg}x}\,dx = \int_{0}^{1}e^{\operatorname{arctg}t}\,dt.
Esse valor não contém nenhuma referência ao x externo, logo é uma constante em relação a x.

Passo 3

Como a integral é uma constante (não depende de x), a derivada dessa constante em relação a x é zero:
\frac{d}{dx}\Bigl(\text{constante}\Bigr)=0.

Resposta

0

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