5ª Questão. Calcule a integral.
\int_{0}^{1} y\left(y^{2}+1\right)^{5} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} y\bigl(y^{2}+1\bigr)^{5}\,dy.
Este é um caso clássico para usar substituição, pois dentro da potência aparece y^{2}+1 e sua derivada 2y aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = y^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad du = 2y\,dy \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = \tfrac12\,du.
Quando y=0, u=0^{2}+1=1.
Quando y=1, u=1^{2}+1=2.
Logo a integral fica
\int_{0}^{1} y\bigl(y^{2}+1\bigr)^{5}\,dy = \int_{u=1}^{u=2} \bigl(u\bigr)^{5}\,\frac12\,du = \frac12\int_{1}^{2} u^{5}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6},
portanto
\frac12\int_{1}^{2} u^{5}\,du = \frac12 \cdot \biggl[\frac{u^{6}}{6}\biggr]_{1}^{2} = \frac{1}{12}\bigl[u^{6}\bigr]_{1}^{2}.

Passo 4

Avaliaremos de 1 a 2:
\frac{1}{12}\bigl(2^{6}-1^{6}\bigr) = \frac{1}{12}\bigl(64 - 1\bigr) = \frac{63}{12} = \frac{21}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{21}{4}

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