(3,5 pt) Determine a dimensão de
S=\{(x, y, z) \in \mathbb{R} \mid \quad 2 x-y-6 z=0\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x - y - 6z = 0\}
e pede a dimensão de S. O conteúdo aqui é subespaço definido por uma única equação linear homogênea em \mathbb{R}^3. Para resolver, podemos usar o Teorema do Núcleo e Posto (rank–nullity) ou encontrar explicitamente uma base de S.

Passo 2

Mostramos que S é o núcleo da aplicação linear
f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R},\quad f(x,y,z)=2x - y - 6z.
Como o vetor de coeficientes (2,-1,-6) é não nulo, \operatorname{rank}(f)=1. Pelo Teorema do Núcleo e Posto, em \mathbb{R}^3 vale
\dim(\ker f) + \operatorname{rank}(f) = 3,
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\dim(S)=\dim(\ker f)=3-1=2.

Passo 3

Alternativamente, podemos parametrizar as soluções de 2x - y - 6z=0. Da equação segue
y=2x-6z.
Tomando parâmetros s=x e t=z, todo vetor de S pode ser escrito como
(x,y,z)=(s,\;2s-6t,\;t) =s\,(1,2,0)+t\,(0,-6,1).
Os vetores (1,2,0) e (0,-6,1) são linearmente independentes e geram S, formando uma base com dois elementos.

Resposta

\dim(S)=2.

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