Sejam
e
Seja a relação
Mostre que a relação acima define um produto interno.
Passo 1
O enunciado nos diz que em
definimos, para
o escalar
Queremos mostrar que
satisfaz as três propriedades de produto interno em espaço real: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
(Simetria) Observamos que a soma de produtos escalares comutam no corpo
. Ou seja,
Passo 3
(Bilinearidade) Dados
e
, usamos a distributividade e associatividade em
:
Pela simetria, segue linearidade também na segunda componente.
Passo 4
(Positividade definida) Para qualquer
temos
Como cada termo é
, segue
. Se
, então
, ou seja,
é a matriz zero. Logo a positividade é estrita.
Resposta
Concluímos que
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, sendo portanto um produto interno em
.