Sejam V=\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) e
u=\left[\begin{array}{ll} u_{1} & u_{2} \\\ u_{3} & u_{4} \end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{ll} v_{1} & v_{2} \\\ v_{3} & v_{4} \end{array}\right] \in V
Seja a relação <u, v>=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+u_{3} v_{3}+u_{4} v_{4} Mostre que a relação acima define um produto interno.

Passo 1

O enunciado nos diz que em V=\mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) definimos, para
u=\begin{pmatrix}u_{1}&u_{2}\u_{3}&u_{4}\end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}\v_{3}&v_{4}\end{pmatrix},
o escalar
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3} + u_{4}v_{4}.
Queremos mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz as três propriedades de produto interno em espaço real: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

(Simetria) Observamos que a soma de produtos escalares comutam no corpo \mathbb{R}. Ou seja,
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3} + u_{4}v_{4} = v_{1}u_{1} + v_{2}u_{2} + v_{3}u_{3} + v_{4}u_{4} = \langle v,u\rangle.

Passo 3

(Bilinearidade) Dados u,w,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}, usamos a distributividade e associatividade em \mathbb{R}:
\langle u+w,\,v\rangle = (u_{1}+w_{1})v_{1} + \cdots + (u_{4}+w_{4})v_{4} = \sum_{i=1}^{4}u_{i}v_{i} + \sum_{i=1}^{4}w_{i}v_{i} = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle.
\langle \alpha u,\,v\rangle = (\alpha u_{1})v_{1} + \cdots + (\alpha u_{4})v_{4} = \alpha\,(u_{1}v_{1} + \cdots + u_{4}v_{4}) = \alpha\,\langle u,v\rangle.
Pela simetria, segue linearidade também na segunda componente.

Passo 4

(Positividade definida) Para qualquer u\in V temos
\langle u,u\rangle = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + u_{4}^{2}.
Como cada termo é \ge0, segue \langle u,u\rangle\ge0. Se \langle u,u\rangle=0, então u_{1}=u_{2}=u_{3}=u_{4}=0, ou seja, u é a matriz zero. Logo a positividade é estrita.

Resposta

Concluímos que \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, sendo portanto um produto interno em V.

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