4ª Questão. Calcule e explique o resultado em cada item
\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} e^{\operatorname{arctg} t} d t

Passo 1

O enunciado define a função
F(x)=\int_{0}^{x}e^{\operatorname{arctg} t}\,dt
e pede que calculemos F'(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), que diz que se
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,
então
F'(x)=f(x).
Também podemos ver isso como um caso da Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Vamos enunciar o teorema: se
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}g(t)\,dt,
então
G'(x)=g\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)\;-\;g\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\;+\;\int_{u(x)}^{v(x)}\frac{\partial}{\partial x}g(t)\,dt.
No nosso caso, u(x)=0 (constante) e v(x)=x, e g(t)=e^{\operatorname{arctg} t} não depende de x dentro da integral, logo a fórmula simplifica para
F'(x)=g\bigl(x\bigr)\cdot1 = e^{\operatorname{arctg} x}.

Passo 3

Aplicando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
F'(x)=e^{\operatorname{arctg} x}.

Resposta

\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}e^{\operatorname{arctg} t}\,dt = e^{\operatorname{arctg} x}.

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