9ª Questão. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado pelo método dos discos/arruelas. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da seção transversal para calcular o volume do sólido.
x=1+y^{2}, y=x-3; em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelas curvas
x = 1 + y^{2}
e
y = x - 3.
O conteúdo é cálculo de volume pelo método dos discos/arruelas. Vamos precisar:
• Encontrar os pontos de interseção em termos de y.
• Identificar, para cada y, o raio externo e o raio interno da arruela.
• Montar e calcular a integral de volume.

Passo 2

Para achar os limites em y, igualamos as duas expressões de x. Da reta y = x - 3 vem x = y + 3. Então
y + 3 = 1 + y^{2}
y^{2} - y - 2 = 0
(y - 2)(y + 1) = 0
Logo os valores de y são
y = 2 \quad\text{e}\quad y = -1.

Passo 3

Para cada y\in[-1,2], a região vai da curva mais à esquerda até a mais à direita:
• Curva esquerda (parábola): x = 1 + y^{2}.
• Curva direita (reta): x = y + 3.
Ao girar em torno de y, cada seção transversal é uma arruela com
\text{raio externo }R(y) = y + 3, \quad \text{raio interno }r(y) = 1 + y^{2}.
A área da arruela vale
A(y) = \pi\bigl(R(y)^{2} - r(y)^{2}\bigr) = \pi\bigl((y+3)^{2} - (1+y^{2})^{2}\bigr).

Passo 4

O volume é
V = \int_{y=-1}^{2} A(y)\,dy = \pi \int_{-1}^{2} \bigl((y+3)^{2} - (1+y^{2})^{2}\bigr)\,dy.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(y+3)^{2} - (1+y^{2})^{2} = (y^{2}+6y+9) - (1 + 2y^{2} + y^{4}) = -y^{4} - y^{2} +6y +8.
Logo
V = \pi \int_{-1}^{2} \bigl(-y^{4} - y^{2} +6y +8\bigr)\,dy = \pi \Bigl[-\tfrac{y^{5}}{5} - \tfrac{y^{3}}{3} +3y^{2} +8y\Bigr]_{-1}^{2}.
Calculando o valor da primitiva em 2 e em -1:
\Bigl(-\tfrac{2^{5}}{5} - \tfrac{2^{3}}{3} +3\cdot2^{2} +8\cdot2\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{(-1)^{5}}{5} - \tfrac{(-1)^{3}}{3} +3\cdot(-1)^{2} +8\cdot(-1)\Bigr) = \frac{351}{15} = \frac{117}{5}.

Resposta

O volume do sólido é
V = \frac{117\pi}{5}.

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