9ª Questão. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado pelo método dos discos/arruelas. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da seção transversal para calcular o volume do sólido.
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelas curvas
e
O conteúdo é cálculo de volume pelo método dos discos/arruelas. Vamos precisar:
• Encontrar os pontos de interseção em termos de .
• Identificar, para cada , o raio externo e o raio interno da arruela.
• Montar e calcular a integral de volume.
• Encontrar os pontos de interseção em termos de
• Identificar, para cada
• Montar e calcular a integral de volume.
Passo 2
Para achar os limites em
, igualamos as duas expressões de
. Da reta
vem
. Então
Logo os valores de
são
Passo 3
Para cada
, a região vai da curva mais à esquerda até a mais à direita:
• Curva esquerda (parábola): .
• Curva direita (reta): .
Ao girar em torno de , cada seção transversal é uma arruela com
• Curva esquerda (parábola):
• Curva direita (reta):
Ao girar em torno de
A área da arruela vale
Passo 4
O volume é
Passo 5
Expandindo o integrando:
Logo
Calculando o valor da primitiva em
e em
:
Resposta
O volume do sólido é