4¹ Questão Calcule os limites abaixo.Use a regra L'Hôspital,quando necessário,indicando qual o tipo da ideterminação:
lim x 0^+ raizx ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+raizx,ln(x)
usando a regra de L’H^opital quando necessário. O conteúdo aqui é limites de funções envolvendo produto de uma função que tende a zero e outra que tende a menos infinito.

Passo 2

À medida que xto0^+, temos raizxto0 e ln(x)to-infty. Logo o produto
raizx,ln(x)
é da forma indeterminada 0cdot(-infty).

Passo 3

Para usar L’H^opital, transformamos o produto em quociente. Por exemplo,
raizx,ln(x) =ln(x)1/raizx
Agora, ao xto0^+, o numerador ln(x)to-infty e o denominador 1/raizxto+infty, dando a forma indeterminada -infty/infty.

Passo 4

Aplicando L’H^opital, derivamos numerador e denominador:
num'(x)=ddxl[ln(x)r]=1x, den'(x)=ddxl[x^-1/2r] =-tfrac12,x^-3/2
Portanto, pelo teorema,
limxto0^+ln(x)1/raizx =limxto0^+1/x-,tfrac12,x^-3/2 =limxto0^+l(-2,x^1/2r)

Passo 5

Agora basta avaliar
limxto0^+l(-2raizxr) =-2cdot0 =0
Como essa é a mesma forma do quociente, concluímos que o limite original também vale zero.

Resposta

0

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