Use a integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Esboce o sólido e a região de integração.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
O conteúdo é aplicação de integral dupla para volume, usando a projeção no plano
e a fórmula
Passo 2
Para achar a região de projeção
no plano
, colocamos
em
, obtendo
Como também temos
e
, a região é
que é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
No ponto
, a altura do sólido é a diferença entre o valor de
no plano
e
, ou seja
Portanto o volume é
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Expandindo e simplificando:
Em seguida:
Passo 5
Esboço: no plano
,
é o triângulo com vértices
,
,
. O sólido é uma pirâmide com essa base triangular em
e vértice em
, pois em
o plano dá
.