Use a integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2 x+2 y+z=4. Esboce o sólido e a região de integração.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano
2x + 2y + z = 4
O conteúdo é aplicação de integral dupla para volume, usando a projeção no plano xy e a fórmula
V = integral duplaR l(ztop - zbotr),dA

Passo 2

Para achar a região de projeção R no plano xy, colocamos z=0 em 2x+2y+z=4, obtendo
2x + 2y = 4 Longrightarrow y = 2 - x
Como também temos x>=0 e y>=0, a região é
R = (x,y)mid 0 <= x <= 2,;0 <= y <= 2 - x,
que é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2).

Passo 3

No ponto (x,y)in R, a altura do sólido é a diferença entre o valor de z no plano 2x+2y+z=4 e z=0, ou seja
ztop - zbot = (4 - 2x - 2y) - 0 = 4 - 2x - 2y
Portanto o volume é
V = integral duplaR (4 - 2x - 2y),dA = integralx=0^2!integraly=0^2 - x(4 - 2x - 2y),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^2 - x(4 - 2x - 2y),dy = l[(4 - 2x)y - y^2r]0^2 - x = (4 - 2x)(2 - x) - (2 - x)^2
Expandindo e simplificando:
(8 - 6x + 2x^2);-;(4 - 4x + x^2) = 4 - 2x + x^2
Em seguida:
V = integral0^2(x^2 - 2x + 4),dx = l[tfracx^33 - x^2 + 4xr]0^2 = tfrac83 - 4 + 8 = tfrac203

Passo 5

Esboço: no plano xy, R é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (0,2). O sólido é uma pirâmide com essa base triangular em z=0 e vértice em (0,0,4), pois em x=y=0 o plano dá z=4.

Resposta

V = 203

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