4ㅡ Questão: Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual q=3 \mu C do ponto A(4 m, \pi, 0) ao ponto B(2 m, \pi / 2,2 m) em coordenadas cilíndricas sob o campo \vec{E}=\left(10^{5} / \rho\right) \vec{a}_{\rho}+10^{5} z \vec{a}_{z} V / m.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho para mover uma carga pontual q=3\,\mu C do ponto
A:(\rho_A=4\,\text{m},\;\phi_A=\pi,\;z_A=0)
ao ponto
B:(\rho_B=2\,\text{m},\;\phi_B=\pi/2,\;z_B=2\,\text{m})
num campo eletrostático
\vec{E}=\frac{10^{5}}{\rho}\,\vec{a}_{\rho}+10^{5}\,z\,\vec{a}_{z}\quad(V/m).
Como o campo é conservativo, podemos obter uma função potencial V(\rho,z) e usar
W_{\text{campo}}=q\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-q\bigl[V(B)-V(A)\bigr].

Passo 2

Determinar V(\rho,z) a partir de
\vec{E}=-\nabla V.
Em coordenadas cilíndricas isso dá
E_{\rho}=-\frac{\partial V}{\partial \rho}=\frac{10^{5}}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial V}{\partial \rho}=-\frac{10^{5}}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad V(\rho,z)=-10^{5}\ln(\rho)+f(z).
E
E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}=10^{5}z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial V}{\partial z}=-10^{5}z \quad\Longrightarrow\quad V(\rho,z)=-10^{5}\ln(\rho)-\frac{10^{5}}{2}\,z^{2}+C.

Passo 3

Calcular V nos pontos A e B, desprezando a constante C pois só interessam diferenças:
V(A)=-10^{5}\ln(4)-\frac{10^{5}}{2}\,(0)^{2}=-10^{5}\ln(4),
V(B)=-10^{5}\ln(2)-\frac{10^{5}}{2}\,(2)^{2} =-10^{5}\ln(2)-2\times10^{5}.
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V(B)-V(A) =-10^{5}\ln(2)-2\times10^{5} -[-10^{5}\ln(4)] =10^{5}\bigl[\,2\ln2-\ln2\bigr]-2\times10^{5} =10^{5}\ln2-2\times10^{5}.

Passo 4

O trabalho fornecido pelo campo é
W_{\text{campo}} =-q\bigl[V(B)-V(A)\bigr] =-3\times10^{-6}\bigl(10^{5}\ln2-2\times10^{5}\bigr).
Se quisermos o trabalho que o campo realiza, fica positivo:
W_{\text{campo}} =3\times10^{-6}\bigl(2\times10^{5}-10^{5}\ln2\bigr).

Passo 5

Avaliação numérica com \ln2\approx0,6931:
2\times10^{5}-10^{5}\ln2 =2\times10^{5}-6,931\times10^{4} \approx1,307\times10^{5},
W_{\text{campo}} =3\times10^{-6}\times1,307\times10^{5} \approx0,3921\;\text{J}.

Resposta

O campo realiza aproximadamente 0,392 J de trabalho ao mover a carga de A a B.

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