2^{\underline{a}} Questāo: A região cilíndrica definida por 2 \mathrm{~mm} \leq \rho \leq 3 \mathrm{~mm} conduz uma corrente total uniformemente distribuída de 8 A na direçāo -\vec{a}_{z} e um filamento sobre o eixo z conduz uma corrente de 8 A na direção \vec{a}_{z}. Determine o campo magnético \vec{H} em todo o espaço.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro infinito com corrente distribuída na região 2\,\mathrm{mm}\le\rho\le3\,\mathrm{mm} no sentido -\vec a_{z} de valor total 8\,\mathrm A, e um filamento no eixo \rho=0 com corrente 8\,\mathrm A em +\vec a_{z}. Queremos o campo magnético \vec H(\rho) em todo o espaço. O conteúdo usado será a Lei de Ampère em forma integral e a simetria cilíndrica, que garante \vec H=H_{\varphi}(\rho)\,\vec a_{\varphi}.

Passo 2

Pela simetria temos uma curva amperiana circular de raio \rho. A Lei de Ampère diz
\oint \vec H\cdot d\vec l \;=\; I_{\rm encl}(\rho)\quad\Longrightarrow\quad H_{\varphi}(\rho)\,(2\pi\rho)=I_{\rm encl}(\rho)\,,
onde I_{\rm encl}(\rho) é a corrente total dentro do raio \rho.

Passo 3

Para 0\le\rho<2\times10^{-3}\,\mathrm m só há a corrente do filamento de +8\,\mathrm A. Logo
I_{\rm encl}(\rho)=8\,,\quad H_{\varphi}(\rho)=\frac{8}{2\pi\rho}=\frac{4}{\pi\,\rho}\quad(\rho<2\times10^{-3}\,\mathrm m).

Passo 4

Na casca 2\times10^{-3}\le\rho\le3\times10^{-3}\,\mathrm m acrescenta-se a corrente volumétrica. A densidade é
J \;=\;\frac{-8}{\pi\bigl((3\times10^{-3})^2-(2\times10^{-3})^2\bigr)}\quad\bigl(\mathrm A/\mathrm m^2\bigr).
A corrente até um raio \rho nessa faixa é
I_{\rm vol}(\rho) =J\,\pi\bigl(\rho^2-(2\times10^{-3})^2\bigr) =-8\,\frac{\rho^2-(2\times10^{-3})^2}{(3\times10^{-3})^2-(2\times10^{-3})^2}\,.
Então
I_{\rm encl}(\rho) =8+I_{\rm vol}(\rho) =8\Bigl[1-\frac{\rho^2-(2\times10^{-3})^2}{(3\times10^{-3})^2-(2\times10^{-3})^2}\Bigr],
e
H_{\varphi}(\rho) =\frac{I_{\rm encl}(\rho)}{2\pi\rho} =\frac{4}{\pi\,\rho}\Bigl[1-\frac{\rho^2-(2\times10^{-3})^2}{(3\times10^{-3})^2-(2\times10^{-3})^2}\Bigr].

Passo 5

Para \rho>3\times10^{-3}\,\mathrm m a corrente da casca cancela exatamente a do filamento, ou seja I_{\rm encl}=8-8=0. Daí
H_{\varphi}(\rho)=0\quad(\rho>3\times10^{-3}\,\mathrm m).

Resposta

\vec{H}(\rho)= \begin{cases} \dfrac{4}{\pi\,\rho}\,\vec{a}_{\varphi}, \\\ &0\leq\rho<2\times10^{-3}\,\mathrm{m},\\[1em] \dfrac{4}{\pi\,\rho}\displaystyle\Bigl[1-\dfrac{\rho^{2}-(2\times10^{-3})^{2}}{(3\times10^{-3})^{2}-(2\times10^{-3})^{2}}\Bigr] \,\vec{a}_{\varphi}, &2\times10^{-3}\leq\rho\leq3\times10^{-3}\,\mathrm{m},\\[1em] 0, &\rho>3\times10^{-3}\,\mathrm{m}. \end{cases}]

Exercícios relacionados