3^{\underline{a}} Questāo: Uma carga total de (40 / 3) n C está uniformemente distribuida sobre um disco circular de 2 m de raio, com centro na origem e posicionado no plano z=0. Determine a diferença de potencial entre a origem e o ponto (0,0,5 \mathrm{~m}).

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=2\\ \mathrm{m} no plano z=0 com carga total
Q = \frac{40}{3}\,\mathrm{nC} = \frac{40}{3}\times10^{-9}\,\mathrm{C},
uniformemente distribuída. Pede-se a diferença de potencial entre a origem \bigl(0,0,0\bigr) e o ponto \bigl(0,0,5\,\mathrm{m}\bigr). O conteúdo principal é o potencial elétrico de um disco uniformemente carregado, usando integral ou a fórmula conhecida para potencial ao longo do eixo do disco.

Passo 2

Como a distribuição é uniforme, a densidade superficial de carga é
\sigma = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{\frac{40}{3}\times10^{-9}}{\pi\,(2)^2} = \frac{10}{3\pi}\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 3

O potencial no eixo de um disco uniformemente carregado, a uma distância z do centro, vale
V(z) \;=\; \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(\sqrt{R^2+z^2}-|z|\Bigr),
onde \varepsilon_0\approx8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.

Passo 4

Aplicando para z=0 e para z=5\,\mathrm{m}:
V(0) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\bigl(\sqrt{R^2+0^2}-0\bigr) = \frac{\sigma\,R}{2\varepsilon_0},
V(5) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\bigl(\sqrt{R^2+5^2}-5\bigr) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\bigl(\sqrt{4+25}-5\bigr) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\bigl(\sqrt{29}-5\bigr).

Passo 5

A diferença de potencial entre a origem e o ponto z=5\,\mathrm{m} é
\Delta V = V(0) - V(5) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \bigl(R - \sqrt{R^2+25} + 5\bigr).
Substituindo R=2:
\Delta V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,(2 +5 -\sqrt{29}) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,(7 -\sqrt{29}).

Passo 6

Agora entra a conta numérica. Primeiro o fator
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\frac{10}{3\pi}\times10^{-9}}{2\,(8{,}85\times10^{-12})} = \frac{5\times10^{-9}}{3\pi\,(8{,}85\times10^{-12})} \approx 59{,}9\\ \mathrm{V/m}.
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\Delta V \approx 59{,}9\,(7 -\sqrt{29}) \approx 59{,}9\,(7 -5{,}385) \approx 59{,}9\times1{,}615 \approx 96{,}7\\ \mathrm{V}.

Resposta

A diferença de potencial entre a origem e o ponto (0,0,5\,\mathrm{m}) vale aproximadamente 96{,}7\\ \mathrm{V}.

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