Questão 5. A equação da elipse com centro na origem, eixo menor de comprimento 6, focos no eixo y e passando pelo ponto (2,-2 \sqrt{5}) é?
4 x^{2}+y^{2}=36 Nenhuma \frac{8}{5} x^{2}+y^{2}=36 x^{2}+\frac{8}{5} y^{2}=36 x^{2}+4 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com eixo menor de comprimento 6, focos no eixo y (logo o eixo maior é vertical) e que passa pelo ponto (2,-2\sqrt{5}). Para isso vamos usar a forma
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1
com a>b, onde 2b é o comprimento do eixo menor e 2a o do eixo maior.

Passo 2

Como o eixo menor mede 6, temos 2b=6 b=3.

Passo 3

Substituindo o ponto (2,-2\sqrt{5}) na equação
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1
vem
\frac{2^2}{3^2}+\frac{(-2\sqrt{5})^2}{a^2}=1
ou seja
\frac{4}{9}+\frac{20}{a^2}=1.
Isolando \frac{20}{a^2} obtemos
\frac{20}{a^2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},
portanto
a^2=\frac{20\cdot9}{5}=36.

Passo 4

Agora a equação é
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{36}=1.
Multiplicando tudo por 36 resulta em
4x^2+y^2=36.

Resposta

4x^2+y^2=36

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