4² Questão: Uma matriz A=(ai j), 1 <= i <= 3 e 1 <= j <= 3 é definida por ai j=3 i-j.
(a) Encontre todos os coeficientes de A e escreva A na forma quadrada;
(b) Escreva a matriz 13 A na forma quadrada;
(c) Escreva a matriz B, em que B=A-13 A;
(d) Escreva, se possível, a matriz C, em que C=A(13 A), na forma quadrada;

Passo 1

O enunciado define a matriz A=(aij) de ordem 3 com
aij=3i-j, i,jin1,2,3
Pede:
(a) escrever A;
(b) escrever tfrac13A;
(c) B=A-tfrac13A;
(d) C=Al(tfrac13Ar), se possível.
Vamos usar operações de multiplicação por escalar, subtração de matrizes e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Calcular todos os aij=3i-j.
Para i=1:
;a11=3-1=2,;a12=3-2=1,;a13=3-3=0
Para i=2:
;a21=6-1=5,;a22=6-2=4,;a23=6-3=3
Para i=3:
;a31=9-1=8,;a32=9-2=7,;a33=9-3=6
Logo,
A= 2 & 1 & 0 5 & 4 & 3 8 & 7 & 6

Passo 3

Para obter tfrac13A dividimos cada elemento de A por 3:
13A= 23 & 13 & 0 53 & 43 & 1 83 & 73 & 2

Passo 4

Temos
B=A-13A=23A,
então basta multiplicar cada entrada de A por tfrac23:
B= 43 & 23 & 0 103 & 83 & 2 163 & 143 & 4

Passo 5

Para
C=Al(tfrac13Ar)
usamos C=tfrac13A^2. Primeiro
A^2 = Acdot A = 9 & 6 & 3 54 & 42 & 30 99 & 78 & 57 ,
depois
C=13A^2 = 3 & 2 & 1 18 & 14 & 10 33 & 26 & 19

Resposta

(a) A= 2 & 1 & 0 5 & 4 & 3 8 & 7 & 6
(b) 13A= 23 & 13 & 0 53 & 43 & 1 83 & 73 & 2
(c) B= 43 & 23 & 0 103 & 83 & 2 163 & 143 & 4
(d) C= 3 & 2 & 1 18 & 14 & 10 33 & 26 & 19

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