3 ^a Questão: Dada a matriz A=(ccc1 & 0 & 1 0 & 1 & -2 0 & -3 & 1) e a matriz B=(ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & -2 3 & -3 & 1).
(a) Encontre a matriz A^top e a matriz B^top;
(b) Encontre a matriz C=A^top+B^top;
(c) Se possível, encontre a matriz D=A^top B^top;

Passo 1

Estamos trabalhando com operações de matrizes: transposição, soma e produto. A matriz A e a matriz B são ambas 3times3. Para resolver vamos usar:
  • A transposta M^top troca linhas por colunas segundo l(M^topr)ij=Mji.
  • A soma de matrizes é realizada entrada a entrada.
  • O produto (MN)ij=sumk=1^3Mik,Nkj.

Passo 2

Calcular A^top. Usando l(A^topr)ij=Aji, se
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & -2 0 & -3 & 1 ,
então
A^top= A11 & A21 & A31 A12 & A22 & A32 A13 & A23 & A33 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -3 1 & -2 & 1

Passo 3

Calcular B^top. Como
B= 1 & 2 & 3 2 & 1 & -2 3 & -3 & 1 ,
segue
B^top= B11 & B21 & B31 B12 & B22 & B32 B13 & B23 & B33 = 1 & 2 & 3 2 & 1 & -3 3 & -2 & 1

Passo 4

Calcular C=A^top+B^top somando entrada a entrada:
C= 1+1 & 0+2 & 0+3 0+2 & 1+1 & -3+(-3) 1+3 & -2+(-2) & 1+1 = 2 & 2 & 3 2 & 2 & -6 4 & -4 & 2

Passo 5

Calcular D=A^topB^top pelo produto de matrizes. Se
A^top= 1 & 0 & 0 0 & 1 & -3 1 & -2 & 1 , B^top= 1 & 2 & 3 2 & 1 & -3 3 & -2 & 1 ,
então
Dij=sumk=1^3 (A^top)ik(B^top)kj
Fazendo os cálculos linha a linha, coluna a coluna, obtém-se
D= 1 & 2 & 3 -7 & 7 & -6 0 & -2 & 10

Resposta

(a)
A^top= 1 & 0 & 0 0 & 1 & -3 1 & -2 & 1 , B^top= 1 & 2 & 3 2 & 1 & -3 3 & -2 & 1
(b)
C=A^top+B^top= 2 & 2 & 3 2 & 2 & -6 4 & -4 & 2
(c)
D=A^topB^top= 1 & 2 & 3 -7 & 7 & -6 0 & -2 & 10

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