4ª Questão: (2,0 pontos) Seja a função .
(a) Escreva sem usar módulos, e verifique se é uma bijeção.
(b) Dê os valores de tais que .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede, em (a), que escrevamos sem módulos (isto é, em forma piecewise) e verifiquemos se é bijeção; em (b), que encontremos os tais que . Vamos usar o fato de que os módulos mudam de expressão nos pontos onde seus argumentos se anulam, isto é, em e em .
Passo 2
Determinamos o sinal de cada argumento em cada intervalo e montamos sem módulos:
Se , então e , logo
Se , então e , logo
Se , então e , logo
Dessa forma,
Passo 3
Para checar bijeção, analisamos monotonicidade e imagem:
Em x< -2, f'(x)=-3<0 (estritamente decrescente),
Em -2<= x<tfrac12, f'(x)=-1<0 (decrescente),
Em x>=tfrac12, f'(x)=3>0 (crescente).
Como f decresce até x=tfrac12 e depois cresce, ela não é injetora (vários valores de x distintos dão o mesmo f(x)) e sua imagem é [tfrac52,infty), não todo R. Logo, f não é bijeção.