4ª Questão: (2,0 pontos) Seja a função f(x)=|x+2|+|2 x-1|.
(a) Escreva f sem usar módulos, e verifique se é uma bijeção.
(b) Dê os valores de x tais que f(x) >= 8.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=|x+2|+|2x-1|
e pede, em (a), que escrevamos f sem módulos (isto é, em forma piecewise) e verifiquemos se é bijeção; em (b), que encontremos os x tais que f(x)>=8. Vamos usar o fato de que os módulos mudam de expressão nos pontos onde seus argumentos se anulam, isto é, em x=-2 e em x=tfrac12.

Passo 2

Determinamos o sinal de cada argumento em cada intervalo e montamos f sem módulos:
  1. Se x< -2, então x+2<0 e 2x-1<0, logo
f(x)=-(x+2)-l(2x-1r)=-x-2-2x+1=-3x-1
  1. Se -2<= x<tfrac12, então x+2>=0 e 2x-1<0, logo
f(x)= (x+2)-l(2x-1r)=x+2-2x+1=-x+3
  1. Se x>=tfrac12, então x+2>=0 e 2x-1>=0, logo
f(x)= (x+2)+(2x-1)=3x+1
Dessa forma,
f(x)= -3x-1, & x< -2, -x+3, & -2<= x<tfrac12, 3x+1, & x>=tfrac12

Passo 3

Para checar bijeção, analisamos monotonicidade e imagem:
  • Em x< -2, f'(x)=-3<0 (estritamente decrescente),
  • Em -2<= x<tfrac12, f'(x)=-1<0 (decrescente),
  • Em x>=tfrac12, f'(x)=3>0 (crescente).
Como f decresce até x=tfrac12 e depois cresce, ela não é injetora (vários valores de x distintos dão o mesmo f(x)) e sua imagem é [tfrac52,infty), não todo R. Logo, f não é bijeção.

Passo 4

Para resolver f(x)>=8, aplicamos cada ramo:
  1. Se x< -2:
-3x-1>=8Longrightarrow -3x>=9Longrightarrow x<= -3
Como também x< -2, isso dá x<= -3.
  1. Se -2<= x<tfrac12:
-x+3>=8Longrightarrow -x>=5Longrightarrow x<= -5,
que não intersecta [-2,tfrac12). Sem solução aqui.
  1. Se x>=tfrac12:
3x+1>=8Longrightarrow 3x>=7Longrightarrow x>=tfrac73
Combinando,
xmid f(x)>=8=(-infty,-3];cup;l[tfrac73,inftyr)

Resposta

(a)
f(x)= -3x-1, & x< -2, -x+3, & -2<= x<tfrac12, 3x+1, & x>=tfrac12
e f não é bijeção.
(b)
xin Rmid f(x)>=8=(-infty,-3];cup;l[tfrac73,inftyr)

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