Calcule os limites abaixo, quando existirem:
lim x 51^+ x-51|x-51| lim x 0^+(-x+x|x|) lim x 2^+ raiz|x|-x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule três limites envolvendo valor absoluto. O conteúdo principal aqui é entender como funciona a definição de |x-a| em diferentes regiões e, em cada caso, usar a região correta (à direita de um ponto, x>a, ou à esquerda, x<a) para simplificar a expressão antes de tomar o limite.

Passo 2

Para
limxto51^+x-51|x-51|,
como xto51^+ implica x>51, temos
|x-51|=x-51
Logo a fração fica
x-51|x-51| = x-51x-51 = 1
para todo x à direita de 51. Portanto
limxto51^+x-51|x-51| = 1

Passo 3

Para
limxto0^+l(-x+x|x|r),
quando xto0^+ então x>0 e
|x|=x,
de modo que
x|x| = xx = 1
Assim a expressão vira
-x + 1,
e ao levar x para zero pela direita obtemos
limxto0^+l(-x+1r) = 1

Passo 4

Para
limxto2^+raiz|x|-x,
quando xto2^+ temos x>2>0, logo
|x|=x
e
|x|-x = x-x = 0
Logo o radicando é exatamente zero para todo x>2, de modo que
raiz|x|-x = raiz0 = 0
perto de 2 pela direita. Portanto
limxto2^+raiz|x|-x = 0

Resposta

1, \quad 1, \quad 0

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