Seja G=f1, f2, f3, f4 o conjunto das funções reais cujo domínio é R^*, assim definidas: f1(x)=x, f2(x)=-x, f3=1 / x e f4(x)=-1 / x.
a) prove que (G, o) é um grupo

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G=f1,f2,f3,f4
com domínio em R^*=Rsetminus0 e
f1(x)=x, f2(x)=-x, f3(x)=tfrac1x, f4(x)=-tfrac1x,
e pede para mostrar que (G,circ) é um grupo sob composição de funções.
Conteúdo: teoria de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso).

Passo 2

Fechamento:
Observe que cada fi pode ser escrita como
fi(x)=ai,x^bi,
onde aiinpm1 e biin1,-1. Para quaisquer fi,fjin G temos
(ficirc fj)(x) = fil(fj(x)r) = ail(aj,x^bjr)^bi = l(ai,aj^,bir),x^,bi bj
Como ai,aj^biinpm1 e bi bjin1,-1, concluímos que ficirc fj é da forma pm x ou pm1/x, isto é, ,ficirc fjin G. Logo, G é fechado sob circ.

Passo 3

Associatividade:
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer f,g,h com domínios compatíveis,
(fcirc g)circ h = fcirc (gcirc h)
Logo, vale associatividade em (G,circ).

Passo 4

Elemento neutro:
A função
f1(x)=x
satisfaz para todo fiin G
f1circ fi=fi e ficirc f1=fi
Portanto f1 é o elemento neutro do grupo.

Passo 5

Inversos:
Basta ver que cada função é sua própria inversa: para todo iin1,2,3,4
ficirc fi(x)=x,
pois
;(-x) aplicado duas vezes dá x,
;1/x aplicado duas vezes dá x,
e o mesmo vale para -1/x.
Assim, todo elemento de G tem inverso em G.

Resposta

Como G é fechado, a composição é associativa, há neutro f1 e todo elemento tem inverso em G, concluímos que (G,circ) é de fato um grupo.

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