Seja
o conjunto das funções reais cujo domínio é
, assim definidas:
,
e
.
a) prove que
é um grupo
a) prove que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com domínio em e
com domínio em
e pede para mostrar que
é um grupo sob composição de funções.
Conteúdo: teoria de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso).
Conteúdo: teoria de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso).
Passo 2
Fechamento:
Observe que cada pode ser escrita como
Observe que cada
onde
e
. Para quaisquer
temos
Como
e
, concluímos que
é da forma
ou
, isto é,
. Logo,
é fechado sob
.
Passo 3
Associatividade:
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer com domínios compatíveis,
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer
Logo, vale associatividade em
.
Passo 4
Elemento neutro:
A função
A função
satisfaz para todo
Portanto
é o elemento neutro do grupo.
Passo 5
Inversos:
Basta ver que cada função é sua própria inversa: para todo
Basta ver que cada função é sua própria inversa: para todo
pois
aplicado duas vezes dá
,
aplicado duas vezes dá
,
e o mesmo vale para .
Assim, todo elemento de tem inverso em
.
e o mesmo vale para
Assim, todo elemento de
Resposta
Como
é fechado, a composição é associativa, há neutro
e todo elemento tem inverso em
, concluímos que
é de fato um grupo.