Sejam a e b elementos de um grupo G. Se x a x=b b a^-1, determine x in G, em termos dos dois elementos dados.

Passo 1

O enunciado dá dois elementos a,b de um grupo G e a equação
x,a,x ;=; b,b,a^-1,,
isto é,
x,a,x ;=; b^2a^-1,
O que precisamos é encontrar uma expressão de x em termos de a e b que satisfaça essa igualdade.

Passo 2

Observamos que no lado direito aparece precisamente o produto bcdot bcdot a^-1. Um palpite natural é tentar
x ;=; b,a^-1,
pois então, ao inserir esse x em x,a,x, poderemos recuperar b^2a^-1.

Passo 3

Vamos verificar que com x = b,a^-1 a equação se satisfaz. Substituindo em x,a,x temos
x,a,x ;=; (b,a^-1),a,(b,a^-1) ;=; b,(a^-1a),b,a^-1 ;=; bcdot1cdot b,a^-1 ;=; b^2a^-1,
que é exatamente o lado direito da equação original.

Resposta

x ;=; b,a^-1

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