4ª) Sabendo que
é um corpo mostre que
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, com as operações usuais de soma e produto, é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Conteúdo: definição de espaço vetorial. Vamos precisar mostrar que
Conteúdo: definição de espaço vetorial. Vamos precisar mostrar que
-
é um grupo abeliano; - existe uma multiplicação de escalares
que satisfaça os axiomas de compatibilidade e distributividade.
Passo 2
Como
é um corpo, em particular
é um grupo abeliano. Isto significa que para quaisquer
:
-
(fechamento); -
(comutatividade); -
(associatividade); - existe
tal que (identidade); - para cada
existe com (inverso).
Passo 3
Definimos a multiplicação de escalares por
onde o produto
é o produto usual em
. Como
, fica claro que
(fechamento da multiplicação).
Passo 4
Verificamos agora os quatro axiomas de compatibilidade e distributividade: para quaisquer
e
vale
essas igualdades decorrem diretamente das propriedades distributiva e associativa do produto em
.
Passo 5
Falta apenas o axioma unitário: se
é o elemento neutro de
, então
para todo
, o que é verdade pois
é também o neutro multiplicativo em
.
Resposta
Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, concluímos que
com as operações usuais é de fato um espaço vetorial sobre o corpo
.