4ª) Sabendo que R é um corpo mostre que R com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo Q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que R, com as operações usuais de soma e produto, é um espaço vetorial sobre o corpo Q.
Conteúdo: definição de espaço vetorial. Vamos precisar mostrar que
  1. (R,+) é um grupo abeliano;
  2. existe uma multiplicação de escalares QtimesRtoR que satisfaça os axiomas de compatibilidade e distributividade.

Passo 2

Como R é um corpo, em particular (R,+) é um grupo abeliano. Isto significa que para quaisquer x,y,zinR:
  1. x+yinR (fechamento);
  2. x+y=y+x (comutatividade);
  3. (x+y)+z = x+(y+z) (associatividade);
  4. existe 0inR tal que x+0=x (identidade);
  5. para cada x existe -x com x+(-x)=0 (inverso).

Passo 3

Definimos a multiplicação de escalares por
cdot;:;QtimesR&longrightarrow R, (q,x)&longmapsto qx,
onde o produto qx é o produto usual em R. Como QsubsetR, fica claro que qxinR (fechamento da multiplicação).

Passo 4

Verificamos agora os quatro axiomas de compatibilidade e distributividade: para quaisquer q,q'inQ e x,x'inR vale
(q+q'),x ;=; qx ;+; q'x,
q,(x + x') ;=; qx ;+; qx',
(qq'),x ;=; q,(q'x),
essas igualdades decorrem diretamente das propriedades distributiva e associativa do produto em R.

Passo 5

Falta apenas o axioma unitário: se 1 é o elemento neutro de Q, então
1cdot x = x
para todo xinR, o que é verdade pois 1 é também o neutro multiplicativo em R.

Resposta

Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, concluímos que R com as operações usuais é de fato um espaço vetorial sobre o corpo Q.

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