4́ㅁ) Seja A \in M_{2}, uma matriz fixada, verifique se T: M_{2} \rightarrow M_{2}, T(X)=A X, é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador T que leva cada matriz X\in M_{2} em T(X)=A\,X, onde A é uma matriz 2\times2 fixada. O conteúdo envolve transformações lineares no espaço vetorial M_{2}. Para verificar se T é linear, precisamos checar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição, T\colon M_{2}\to M_{2} é linear se, para quaisquer matrizes X,Y\in M_{2} e qualquer escalar \alpha, valem:
  1. T(X+Y)=T(X)+T(Y)
  2. T(\alpha X)=\alpha \,T(X)

Passo 3

Verificação da aditividade:
T(X+Y)=A\,(X+Y)=A\,X +A\,Y =T(X)+T(Y).
Verificação da homogeneidade:
T(\alpha X)=A\,(\alpha X)=\alpha\,(A\,X)=\alpha\,T(X).

Passo 4

Como ambas as propriedades são satisfeitas, T é de fato uma transformação linear de M_{2} em M_{2}.

Resposta

T é linear.

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