5a) Encontre uma base de M_{2} que contenha os vetores a=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial M_{2} das matrizes 2\times2 (dimensão 4) e dá dois vetores
A_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Queremos estender \{A_1,A_2\} a uma base de M_{2}. O conteúdo é “extensão de base” em espaços vetoriais.

Passo 2

Verificamos que A_1\) e \(A_2\) são linearmente independentes. Suponha \[c_1A_1 + c_2A_2 = 0_{2\times2}.
Isso dá o sistema de entradas
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\ c_2 = 0,\\\ c_1 = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Logo (c_1 = c_2 = 0], o que prova a independência.

Passo 3

Como \dim(M_{2})=4, precisamos de mais duas matrizes que não estejam no span \{A_1,A_2\}. Note que toda combinação c_1A_1+c_2A_2 tem entrada (2,2) igual a zero.

Passo 4

Escolhemos
A_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Como (A_3)_{2,2}=1, não há combinação de A_1,A_2 que gere A_3. Assim \{A_1,A_2,A_3\} é linearmente independente.

Passo 5

Para completar, tomamos
A_4 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Se c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4=0, comparando a entrada (1,2) vem c_2+c_4=0 e a (2,2) c_3=0. Mas então da (2,1) obtemos c_1=0 e da (1,1) segue c_2=0, logo c_4=0. Logo \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é independente.

Passo 6

Como temos 4 matrizes independentes em um espaço de dimensão 4, \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é uma base de M_{2} que contém os vetores dados.

Resposta

Uma base de M_{2} contendo \,A_1 e \,A_2 é:
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \right\}.

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