5^{\underline{a}} ) Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que:
T(1,0,0)=(1,2), T(0,1,0)=(3,4) \text { e } T(0,0,1)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
cuja ação nos vetores da base canônica \,e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0) e e_{3}=(0,0,1)
é dada por
T(e_{1})=(1,2),\quad T(e_{2})=(3,4),\quad T(e_{3})=(0,0).
Para resolver isso, vamos usar que uma transformação linear fica totalmente determinada pelas imagens desses vetores de base.

Passo 2

Seja A a matriz 2\times3 que representa T no par de bases canônicas. Pelas propriedades de transformações lineares, as colunas de A são exatamente T(e_{1}), T(e_{2}) e T(e_{3}). Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Dado um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, escrevemos
(x,y,z) = x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3}.
Como T é linear,
T(x,y,z) = x\,T(e_{1}) + y\,T(e_{2}) + z\,T(e_{3}) = x\,(1,2) + y\,(3,4) + z\,(0,0).

Passo 4

Fazendo a combinação vetorial, obtemos
T(x,y,z) = (\,x + 3y,\;2x + 4y\,).

Resposta

A transformação desejada é
T(x,y,z) = (\,x + 3y,\;2x + 4y\,).

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