Determine as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases do \mathbb{R}^{3} a seguir:
\beta=\{(0,0,1),(0,1,1),(1,1,4)\}

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de u = (-1,8,5) na base \beta = \{v_1,v_2,v_3\} de \mathbb{R}^3, onde
v_1 = (0,0,1),\quad v_2 = (0,1,1),\quad v_3 = (1,1,4).
Para achar as coordenadas (a,b,c) de u em \beta, vamos escrever
u = a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3
e resolver para a,b,c.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear, temos
a\,(0,0,1) + b\,(0,1,1) + c\,(1,1,4) = (c,\;b+c,\;a+b+4c).
Igualando a (-1,8,5), obtemos o sistema
\begin{cases} c = -1,\\\ b + c = 8,\\\ a + b + 4c = 5. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
c = -1.
Substituindo na segunda:
b - 1 = 8 \quad\Longrightarrow\quad b = 9.
Substituindo b=9 e c=-1 na terceira:
a + 9 + 4(-1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad a + 9 - 4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.

Resposta

As coordenadas de u na base \beta são
[u]_\beta = (0,\,9,\,-1).

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