[4] A temperatura num ponto (x, y) de uma placa de metal é dada, em graus Celsius, por
T(x, y)=x y1+x^2+y^2
Suponha que uma formiga se encontra no ponto de coordenadas (1,1).
(4.1) Indique a direção que a formiga deve tomar para se manter com a mesma temperatura.
(4.2) Se num dado momento a formiga sentir frio, qual a direção e o sentido que deve tomar para que possa aquecer mais rapidamente?

Passo 1

A placa tem T(x,y)=\frac{xy}{1+x2+y2}, estamos em Cálculo Vetorial aprendendo a usar o gradiente para achar direções de variação nula (curvas de nível) e de máximo crescimento, então vamos calcular ∇T.

Passo 2

Para achar ∇T, calculamos as derivadas parciais. Usando quociente, temos:
Tx=partialpartial xl(xy1+x^2+y^2r)=y(1+x^2+y^2)-xy(2x)(1+x^2+y^2)^2=yl(1 - x^2 + y^2r)(1+x^2+y^2)^2,
[T_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{xy}{1+x2+y2}\Bigr)=\frac{x(1+x2+y2)-xy(2y)}{(1+x2+y2)^2}=\frac{x\bigl(1 + x^2 - y2\bigr)}{(1+x2+y2)2}."]

Passo 3

Avaliando em (1,1): como 1+12+12=3,
$$T_x(1,1)=\frac{1,(1-1+1)}{3^2}=\frac{1}{9},\qquad T_y(1,1)=\frac{1,(1+1-1)}{3^2}=\frac{1}{9}.
$$
Logo, Tx(1,1)=1,(1-1+1)3^2=19, Ty(1,1)=1,(1+1-1)3^2=19 .

Passo 4

Para manter a mesma temperatura, a formiga deve seguir uma curva de nível, ou seja, mover-se numa direção ortogonal a ∇T. No ponto (1,1), ∇T=(1/9,1/9), qualquer vetor perpendicular a isso, por exemplo (1,−1), satisfaz (1/9,1/9)cdot(1,−1)=0. O vetor unitário equivalente é (1/raiz2,−1/raiz2).

Passo 5

Para aquecer o mais rápido, a formiga deve ir na direção do gradiente ⎯ esse é o vetor de máximo crescimento de T. Assim, no ponto (1,1) a direção ótima é (1,1) (ou o unitário (1/raiz2,1/raiz2)), no sentido positivo de x e y, pois em ambos T_x e T_y são positivos.

Resposta

(4.1) Qualquer vetor perpendicular a (1/9,1/9), por exemplo (1,−1) ou seu unitário (1/√2,−1/√2). (4.2) Na direção do gradiente (1/9,1/9), por exemplo (1,1) ou seu unitário (1/√2,1/√2), no sentido de aumentar x e y.

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