Verifique que a única função inteira que quando restrita ao eixo real é igual a
e que satisfaz
para
é a função exponencial complexa como definida em aula.
Dica: partindo da condição
e do fato de que
, obtenha um par de equações diferenciais que devem ser satisfeitas por
e
; utilizando as equações de Cauchy-Riemann, verifique que a única função inteira com essas condições é de fato
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a única função inteira
que satisfaz
em
e cuja restrição ao eixo real é
é a exponencial complexa
. Vamos usar que f é holomorfa (Cauchy-Riemann) e separar em parte real e imaginária.
Passo 2
Escrevendo
, a condição
dá, como derivada complexa é
:
Passo 3
Passo 4
Assim obtemos o par de equações diferenciais em
:
E pelas equações de Cauchy–Riemann:
Combinando, vem:
Passo 5
Da equação
e
temos solução geral em
:
onde
são funções só de
.
Passo 6
Aplicando as condições em
: de
e
, substituindo a forma acima, cancelando
, obtemos
Isso leva à ODE
cuja solução geral é
Passo 7
Para impor
usamos
dando
e
dando
. Assim
,
, resultando em
Logo
, e por unicidade da solução inteira concluímos que não há outra.