Verifique que a única função inteira que quando restrita ao eixo real é igual a e^x e que satisfaz f^prime(z)=f(z) para z in C é a função exponencial complexa como definida em aula.
Dica: partindo da condição f^prime(z)=f(z) e do fato de que f(x+i 0)=e^x, obtenha um par de equações diferenciais que devem ser satisfeitas por u e v; utilizando as equações de Cauchy-Riemann, verifique que a única função inteira com essas condições é de fato e^z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a única função inteira f:CtoC que satisfaz f'(z)=f(z) em C e cuja restrição ao eixo real é f(x)=e^x é a exponencial complexa e^z. Vamos usar que f é holomorfa (Cauchy-Riemann) e separar em parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo f(z)=u(x,y)+i,v(x,y), a condição f'(z)=f(z) dá, como derivada complexa é ux+i,vx:

Passo 3

ux(x,y)+i,vx(x,y)=u(x,y)+i,v(x,y)

Passo 4

Assim obtemos o par de equações diferenciais em x:
ux(x,y)=u(x,y), vx(x,y)=v(x,y)
E pelas equações de Cauchy–Riemann:
ux(x,y)=vy(x,y), uy(x,y)=-vx(x,y)
Combinando, vem:
vy(x,y)=u(x,y), uy(x,y)=-v(x,y)

Passo 5

Da equação ux=u e vx=v temos solução geral em x:
u(x,y)=A(y)e^x, v(x,y)=B(y)e^x,
onde A,B são funções só de y.

Passo 6

Aplicando as condições em y: de
uy=-v e vy=u, substituindo a forma acima, cancelando e^x, obtemos
A'(y)=-B(y), B'(y)=A(y)
Isso leva à ODE
A''(y)+A(y)=0,
cuja solução geral é
A(y)=Ccos y+Dsin y, B(y)=-A'(y)=Csin y-Dcos y

Passo 7

Para impor f(x,0)=e^x usamos
u(x,0)=A(0)e^x=e^x dando A(0)=1 e
v(x,0)=B(0)e^x=0 dando B(0)=0. Assim C=1, D=0, resultando em
u(x,y)=e^xcos y, v(x,y)=e^xsin y
Logo
f(z)=u+iv=e^x(cos y+isin y)=e^z, e por unicidade da solução inteira concluímos que não há outra.

Passo 8

Resposta

f(z)=e^z

Exercícios relacionados