Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas:
y=raizx, x=4, y=0, eixo- y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=√x, x=4 e y=0. O assunto é cálculo de volumes por método de discos (ou anéis), e vamos precisar expressar a região em função de y e determinar raios externo e interno.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a curva em função de x: y=√x implica x=y². Ao girar em torno do eixo y, a distância do eixo até a reta x=4 é o raio externo R(y)=4, e até a curva x=y² é o raio interno r(y)=y².

Passo 3

A área de cada seção transversal (anel) perpendicular ao eixo y é dada por
A(y)=pil(R(y)^2 - r(y)^2r)=pil(4^2 - (y^2)^2r)=pi(16 - y^4)
O volume é a integral dessa área de y=0 até y=2 (pois em x=4 temos y=√4=2):
V=integral0^2A(y),dy=integral0^2pi(16 - y^4),dy

Passo 4

Agora calculamos a integral:
V=pil[16y - y^55r]0^2=pil(16cdot2 - 2^55r)=pil(32 - 325r)=128pi5

Resposta

128pi5

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