Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas:
, eixo-
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=√x, x=4 e y=0. O assunto é cálculo de volumes por método de discos (ou anéis), e vamos precisar expressar a região em função de y e determinar raios externo e interno.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a curva em função de x: y=√x implica x=y². Ao girar em torno do eixo y, a distância do eixo até a reta x=4 é o raio externo R(y)=4, e até a curva x=y² é o raio interno r(y)=y².
Passo 3
A área de cada seção transversal (anel) perpendicular ao eixo y é dada por
O volume é a integral dessa área de y=0 até y=2 (pois em x=4 temos y=√4=2):
Passo 4
Agora calculamos a integral: