Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral e^x^3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2e^x^3,dx. O conteúdo principal é técnica de integração por substituição simples, onde identificamos uma parte da expressão cuja derivada também aparece na integral.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^3. Isso porque a função exponencial está em termo de x^3 e a derivada de x^3 é 3x^2, que quase aparece como fator na integral.

Passo 3

Calculamos du. Derivando u = x^3 temos:
du = 3x^2,dx
Logo, podemos isolar x^2,dx:
x^2,dx = 13,du

Passo 4

Substituímos na integral original. Em termos de u a integral fica:
integral x^2e^x^3,dx = integral e^ucdot13,du = 13integral e^u,du

Passo 5

Agora integramos integral e^u,du. Sabemos que a primitiva de e^u é e^u mesmo, ou seja:
13integral e^u,du = 13e^u + C

Passo 6

Voltamos à variável original, substituindo u = x^3. Assim, a antiderivada final é:
13e^x^3 + C

Resposta

13e^x^3 + C

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