Considere a aplicação
definida pelas equações:
Utilizando
calcule
, onde
é a imagem no plano
da região
no plano
limitada pelas retas
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular
, onde
é a imagem da região
pelo mapeamento
dado por
O conteúdo central é mudança de variável em integrais duplas e uso do Jacobiano.
Passo 2
A região
no plano
é o triângulo definido por
.
Isso significa que podemos tomar os limites
de 0 a 2 e, para cada
,
de 0 a
.
Isso significa que podemos tomar os limites
Passo 3
Vamos calcular o Jacobiano
.
Como
,
obtemos
Como
obtemos
Passo 4
Agora expressamos o integrando em
. Temos
Note que não depende de
.
Passo 5
A integral sobre
vira integral sobre
com o fator
:
Passo 6
Como o integrando não depende de
, a integral em
só multiplica por
:
Passo 7
Expandindo
,
e depois multiplicando por , chegamos ao polinômio
e depois multiplicando por
Então
Passo 8
Integramos termo a termo:
Avaliando de 0 a 2 e somando, obtemos