Considere a aplicação g definida pelas equações:
x=u+v y=v-u^2
Utilizando g calcule D, onde x y é a imagem no plano Q da região u v no plano u=0, v=0 limitada pelas retas u+v=2 e .

Passo 1

A questão pede para calcular integral duplaDl(x - y + tfrac14r),dx,dy, onde D é a imagem da região Q pelo mapeamento
g:,(u,v)mapsto(x,y) dado por
x = u + v,
y = v - u^2
O conteúdo central é mudança de variável em integrais duplas e uso do Jacobiano.

Passo 2

A região Q no plano (u,v) é o triângulo definido por
u>=0, v>=0, u+v<=2.
Isso significa que podemos tomar os limites
u de 0 a 2 e, para cada u, v de 0 a 2-u.

Passo 3

Vamos calcular o Jacobiano
partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v .
Como
partial x/partial u=1,partial x/partial v=1,partial y/partial u=-2u,partial y/partial v=1,
obtemos
J = 1cdot1 - 1cdot(-2u) = 1 + 2u

Passo 4

Agora expressamos o integrando em (u,v). Temos
x - y + tfrac14 = (u+v) - (v - u^2) + tfrac14 = u^2 + u + tfrac14
Note que não depende de v.

Passo 5

A integral sobre D vira integral sobre Q com o fator |J|=1+2u:
I = integral duplaD l(x - y + tfrac14r),dx,dy = integralu=0^2 integralv=0^2-u (u^2+u+tfrac14)(1+2u),dv,du

Passo 6

Como o integrando não depende de v, a integral em v só multiplica por (2-u):
I = integral0^2 (u^2+u+tfrac14)(1+2u)(2-u),du

Passo 7

Expandindo
(u^2+u+tfrac14)(1+2u) = 2u^3 + 3u^2 + tfrac32u + tfrac14,
e depois multiplicando por (2-u), chegamos ao polinômio
-2u^4 + u^3 + tfrac92u^2 + tfrac114u + tfrac12
Então
I = integral0^2 l(-2u^4 + u^3 + tfrac92u^2 + tfrac114u + tfrac12r),du

Passo 8

Integramos termo a termo:
integral0^2 -2u^4,du = -25u^5, integral0^2 u^3,du = u^44, integral0^2 tfrac92u^2,du = tfrac32u^3,
integral0^2 tfrac114u,du = tfrac118u^2, integral0^2 tfrac12,du = tfrac12u
Avaliando de 0 a 2 e somando, obtemos
I = -645 + 4 + 12 + 112 + 1 = 9710

Resposta

97/10

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