[4] Qual é o valor de \mathbf{k}, para que a derivada da função definida por f(x)=x^{3}-k \cdot x^{2}+4 x-5, seja igual a - 5 no ponto de abscissa - 3 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-k\,x^{2}+4x-5
e pede para ajustar o valor de k de modo que a derivada de f no ponto de abscissa x=-3 seja igual a -5. O conteúdo aqui é derivação de polinômio.

Passo 2

Derivando f, temos
f'(x)=3x^{2}-2k\,x+4.
Para x=-3,
f'(-3)=3\cdot(-3)^{2}-2k\cdot(-3)+4=27+6k+4=31+6k.
Como queremos f'(-3)=-5, impomos
31+6k=-5.

Passo 3

Resolvendo a equação:
6k=-5-31=-36 \qquad\Longrightarrow\qquad k=-6.

Resposta

-6

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