\int_{1}^{4} \cos \sqrt{x} d x
(Dica: 1^{\circ} substituição t=\sqrt{x} \Rightarrow d x=2 t d t e depois por partes.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{4} \cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx
O plano é usar primeiro a substituição t=\sqrt{x} para simplificar \cos(\sqrt{x}) e depois aplicar integração por partes no integral resultante.

Passo 2

Fazendo t=\sqrt{x} temos x=t^{2}, logo
dx = 2t\,dt.
Quando x=1 vem t=1 e quando x=4 vem t=2. Substituindo,
\int_{1}^{4}\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int_{t=1}^{t=2}\cos(t)\,\bigl(2t\,dt\bigr) = 2\int_{1}^{2}t\cos(t)\,dt.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int t\cos(t)\,dt usamos a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = t,\quad dv = \cos(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad du = dt,\quad v = \sin(t).
Então
\int t\cos(t)\,dt = t\sin(t) - \int \sin(t)\,dt = t\sin(t) + \cos(t) + C.

Passo 4

Voltando ao integral original, temos
2\int_{1}^{2}t\cos(t)\,dt = 2\Bigl[t\sin(t) + \cos(t)\Bigr]_{1}^{2} = 2\Bigl[\bigl(2\sin(2)+\cos(2)\bigr)-\bigl(1\sin(1)+\cos(1)\bigr)\Bigr].
Simplificando,
2\bigl(2\sin(2)+\cos(2)-\sin(1)-\cos(1)\bigr) = 4\sin(2) + 2\cos(2) - 2\sin(1) - 2\cos(1).

Resposta

\int_{1}^{4}\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = 4\sin(2) + 2\cos(2) - 2\sin(1) - 2\cos(1).

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