Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=e^{-t} icos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = e^{-t}\,i\cos(2t).
O conteúdo principal aqui é a definição da transformada de Laplace, a propriedade de linearidade e o teorema do deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Usamos a linearidade da transformada de Laplace para fatorar a constante imaginária i:
f(t) = i\;\bigl(e^{-t}\cos(2t)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{f(t)\} = i\;\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}.

Passo 3

Para \mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}, aplicamos diretamente o teorema do deslocamento: se
g(t)=\cos(2t),
então
\mathcal{L}\{g(t)\} =\frac{s}{s^2+4}.
Pela propriedade de deslocamento,
\mathcal{L}\{e^{-t}g(t)\} =G(s+1),
ou seja, basta substituir s por s+1 em \frac{s}{s^2+4}.

Passo 4

Fazendo a substituição s\to s+1 em G(s):
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\} =\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Passo 5

Voltando ao fator i da Passo 2, obtemos a transformada final:
\mathcal{L}\{f(t)\} = i\;\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\,i\cos(2t)\} = i\,\frac{s+1}{(s+1)^2 + 4}.

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