Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{2}{3} \cdot \operatorname{tg} 6 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2}{3}\,\operatorname{tg}(6x).
O conteúdo envolvido é a derivada da função tangente e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Lembrando que, para u=u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}u\bigr)=\operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Aqui u(x)=6x, então \frac{du}{dx}=6. Assim,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}(6x)\bigr) =\operatorname{sec}^2(6x)\cdot 6.

Passo 4

Multiplicando pelo coeficiente \tfrac{2}{3}, obtemos
f'(x) =\frac{2}{3}\times\bigl(\operatorname{sec}^2(6x)\cdot6\bigr) =\frac{2\cdot6}{3}\,\operatorname{sec}^2(6x) =4\,\operatorname{sec}^2(6x).

Resposta

f'(x)=4\,\operatorname{sec}^2(6x).

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