Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar
que aparece em . - Usar
para encontrar a única solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações relevantes dadas: a equação diferencial é de primeira ordem e linear (ou pode ser rearranjada como tal). O PVI fornece a condição inicial
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui identificamos o coeficiente de
como
e o termo fonte como
.
Explicação do método do fator integrante (didática passo a passo):
- Para uma equação linear de primeira ordem na forma
define-se o antiderivado
e o fator integrante
- A razão de escolher
é que, por construção,
Isto transforma a equação em uma derivada exata, que é fácil de integrar. Essa identidade se obtém aplicando a regra do produto:
pois
quando
.
Passo 3
Calcular
no nosso caso, lembrando que
:
(O termo constante de integração pode ser tomado como zero porque multiplicar
por uma constante não altera a forma geral da solução.)
Então o fator integrante é
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Obtemos
Pelo passo anterior isso é a derivada do produto:
Integrando em
,
onde
é constante de integração. Isolando
:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
:
Portanto a única solução do PVI é