Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
u^{\prime}=u, \quad u(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar P(t) que aparece em \exp[P(t)].
  • Usar \exp[P(t)] para encontrar a única solução do problema de valor inicial (PVI)
u'(t)=u(t),\qquad u(0)=-1.
Informações relevantes dadas: a equação diferencial é de primeira ordem e linear (ou pode ser rearranjada como tal). O PVI fornece a condição inicial u(0)=-1.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
u'(t)-u(t)=0.
Aqui identificamos o coeficiente de u(t) como p(t)=-1 e o termo fonte como g(t)=0.
Explicação do método do fator integrante (didática passo a passo):
  • Para uma equação linear de primeira ordem na forma
u'(t)+p(t)u(t)=g(t),
define-se o antiderivado
P(t)=\int p(t)\,dt,
e o fator integrante
\mu(t)=\exp\bigl(P(t)\bigr).
  • A razão de escolher \mu(t) é que, por construção,
\frac{d}{dt}\bigl(\mu(t)u(t)\bigr)=\mu(t)\bigl(u'(t)+p(t)u(t)\bigr).
Isto transforma a equação em uma derivada exata, que é fácil de integrar. Essa identidade se obtém aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(\mu u\bigr)=\mu' u+\mu u'=\mu p u+\mu u'=\mu\bigl(u'+p u\bigr),
pois \mu'=\mu p quando \mu=\exp\bigl(\int p\bigr).

Passo 3

Calcular P(t) no nosso caso, lembrando que p(t)=-1:
P(t)=\int p(t)\,dt=\int -1\,dt=-t.
(O termo constante de integração pode ser tomado como zero porque multiplicar \mu por uma constante não altera a forma geral da solução.)
Então o fator integrante é
\mu(t)=\exp\bigl(P(t)\bigr)=\exp(-t)=e^{-t}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{-t}. Obtemos
e^{-t}u'(t)-e^{-t}u(t)=0.
Pelo passo anterior isso é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}u(t)\bigr)=0.
Integrando em t,
e^{-t}u(t)=C,
onde C é constante de integração. Isolando u(t):
u(t)=C e^{t}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial u(0)=-1:
u(0)=C e^{0}=C=-1.
Portanto a única solução do PVI é
u(t)=-e^{t}.

Resposta

P(t)=-t
u(t)=-e^{t}

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