[4] Verifique se o ponto P pertence à curva C, sendo:
C: r^2-2 cos 2 theta=0 e

Passo 1

Temos o ponto P(-1,tfracpi6) em coordenadas polares e a curva C dada por
r^2 - 2cos 2theta = 0
O conteúdo aqui é verificação de ponto em curva polar: vamos precisar apenas substituir r e theta na equação.

Passo 2

Para testar se um ponto em coordenadas polares pertence à curva, basta inserir seus valores de r e theta na expressão da curva e ver se a igualdade se mantém.
Com r=-1 e theta=tfracpi6 calculamos:
r^2 = (-1)^2 = 1
cos 2theta = cosl(2cdottfracpi6r) = costfracpi3 = tfrac12

Passo 3

Substituindo na equação:
r^2 - 2cos 2theta = 1 - 2cdottfrac12 = 1 - 1 = 0
Portanto a igualdade é satisfeita.
Como a equação envolve r^2, o sinal de r não altera o teste. Logo não há problema em usar r=-1 diretamente.

Resposta

Sim, o ponto P pertence à curva C.

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