Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x)=cos (arctg x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=cos(arctg x). O conteúdo envolve regra da cadeia aplicada a funções compostas e também o cálculo da derivada de arctg x. Vamos usar a cadeia para decompor f em f(u)=cos u com u(x)=arctg x.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de f(u)=cos u em relação a x é f'(x)=-sin(u(x))cdot u'(x). Logo, precisamos da derivada de u(x)=arctg x, que é dada por u'(x)=dfrac11+x^2. Então, substituindo, obtemos

Passo 3

Agora simplificamos sin(arctg x). Se theta=arctg x, então tantheta=x implica triângulo de catetos x e 1, hipotenusa raiz1+x^2, logo, unindo tudo, a derivada final é

Resposta

f'(x)=-dfracx(1+x^2)^3/2

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