Seja f derivável num intervalo aberto I contendo x=-1 e tal que
(f(x))^3-(f(x))^2+x f(x)=2
para todo x in I. Encontre f(-1) e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1, f(-1)).
36. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa f^-1 seja também derivável. Use derivação implícita para mostrar que
(f^-1)^prime(x)=1f^prime(f^-1(x))
desde que o denominador não seja nulo.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: achar f(-1) e a reta tangente ao gráfico de f em x=–1 sabendo que f satisfaz uma relação implícita, e depois mostrar a fórmula da derivada da inversa de f usando derivação implícita.

Passo 2

Para encontrar f(–1) a gente substitui x=–1 na relação (f(x))^3-(f(x))^2 + x f(x) = 2. Definindo y=f(x), temos ao colocar x=-1:
y^3 - y^2 - y = 2
Isso leva à equação
y^3 - y^2 - y - 2 = 0
Testando raízes inteiras vemos que y=2 anula esse polinômio, e as outras raízes são complexas. Portanto:
f(-1) = 2

Passo 3

Agora derivamos implicitamente (f(x))^3 - (f(x))^2 + x f(x) = 2. Usando y=f(x) e regra da cadeia e do produto, obtemos:
3y^2 y' - 2y y' + y + x y' = 0
Agrupando y':
y'(3y^2 - 2y + x) + y = 0
Logo
y' = -y3y^2 - 2y + x
Em x=-1 e y=f(-1)=2, o denominador vale 3cdot4 - 2cdot2 -1 = 12 -4 -1 =7. Então:
f'(-1) = y'(-1) = -27

Passo 4

A equação da reta tangente em (-1,2) com coeficiente angular m = -2/7 é
y - 2 = -27(x + 1)

Passo 5

Para a segunda parte, considere a composição f(f^-1(x)) = x. Derivando ambos os lados em relação a x e aplicando regra da cadeia, dá:
f'l(f^-1(x)r) cdot (f^-1)'(x) = 1
Isolando (f^-1)'(x) obtemos a fórmula desejada, desde que f'l(f^-1(x)r) neq 0:

Passo 6

(f^-1)'(x) = 1f'l(f^-1(x)r)

Resposta

f(-1) = 2
Reta tangente: y - 2 = -\tfrac{2}{7}(x + 1)
Fórmula da derivada da inversa: (f^{-1})’(x) = 1 / f’(f^{-1}(x))

Exercícios relacionados