Seja
derivável num intervalo aberto
contendo
e tal que
para todo
. Encontre
e a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
36. Suponha que
seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa
seja também derivável. Use derivação implícita para mostrar que
desde que o denominador não seja nulo.
36. Suponha que
Passo 1
O enunciado tem duas partes: achar f(-1) e a reta tangente ao gráfico de f em x=–1 sabendo que f satisfaz uma relação implícita, e depois mostrar a fórmula da derivada da inversa de f usando derivação implícita.
Passo 2
Para encontrar f(–1) a gente substitui x=–1 na relação
. Definindo
, temos ao colocar
:
Isso leva à equação
Testando raízes inteiras vemos que
anula esse polinômio, e as outras raízes são complexas. Portanto:
Passo 3
Agora derivamos implicitamente
. Usando
e regra da cadeia e do produto, obtemos:
Agrupando
:
Logo
Em
e
, o denominador vale
. Então:
Passo 4
A equação da reta tangente em
com coeficiente angular
é
Passo 5
Para a segunda parte, considere a composição
. Derivando ambos os lados em relação a
e aplicando regra da cadeia, dá:
Isolando
obtemos a fórmula desejada, desde que
:
Passo 6
Resposta
f(-1) = 2
Reta tangente: y - 2 = -\tfrac{2}{7}(x + 1)
Fórmula da derivada da inversa: (f^{-1})’(x) = 1 / f’(f^{-1}(x))