Sejam
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dado a>0, c>0, b=√(ac) com a≠1, c≠1, ac≠1 e N>0, vale a identidade
O conteúdo principal aqui é mudança de base de logaritmos e a relação de b como média geométrica de a e c.
Passo 2
Aplicamos a fórmula de mudança de base, escrevendo as funções logarítmicas em termos do logaritmo natural:
Passo 3
Calculamos o lado esquerdo usando mudança de base:
Passo 4
Para o lado direito, usamos a relação b=√(ac) ⇒
Assim,
Então
Passo 5
Dividindo as diferenças, fatoramos
e obtemos
Como esse valor coincide com o lado esquerdo, a identidade está demonstrada.
Resposta
Ambos os lados são iguais a
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