Sejam a>0, c>0, b=raiza c, a neq 1, c neq 1, a c neq 1 e N>0. Mostre que
log a Nlog c N=log a N-log b Nlog b N-log c N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dado a>0, c>0, b=√(ac) com a≠1, c≠1, ac≠1 e N>0, vale a identidade
loga Nlogc N=loga N-logb Nlogb N-logc N
O conteúdo principal aqui é mudança de base de logaritmos e a relação de b como média geométrica de a e c.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de mudança de base, escrevendo as funções logarítmicas em termos do logaritmo natural:
loga N=ln Nln a, logb N=ln Nln b, logc N=ln Nln c

Passo 3

Calculamos o lado esquerdo usando mudança de base:
loga Nlogc N=ln Nln aln Nln c=ln cln a

Passo 4

Para o lado direito, usamos a relação b=√(ac) ⇒
ln b=ln(raizac)=ln a+ln c2
Assim,
logb N=ln Nln b=2ln Nln a+ln c
Então
loga N-logb N=ln Nl(tfrac1ln a-tfrac2ln a+ln cr),
logb N-logc N=ln Nl(tfrac2ln a+ln c-tfrac1ln cr)

Passo 5

Dividindo as diferenças, fatoramos ln N e obtemos
loga N-logb Nlogb N-logc N =tfrac1ln a-tfrac2ln a+ln ctfrac2ln a+ln c-tfrac1ln c =ln cln a
Como esse valor coincide com o lado esquerdo, a identidade está demonstrada.

Resposta

Ambos os lados são iguais a ln cln a, logo
loga Nlogc N=loga N-logb Nlogb N-logc N

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