Mostre que
log a1 a2 ldots an x=11log a1 x+1log a2 x x+ldots+1log an x

Passo 1

Aqui o lance é mostrar aquela igualdade envolvendo logaritmos com bases diferentes, e a gente vai usar mudança de base e a propriedade de logaritmo de produto.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a mudança de base pra base natural (ln). Assim,
loga1a2cdots anx=ln xlnl(a1a2cdots anr)
Isso vem direto de logba=ln aln b.

Passo 3

Em seguida, usamos a propriedade de logaritmo de produto:
lnl(a1a2cdots anr)=ln a1+ln a2+cdots+ln an

Passo 4

Substituindo no denominador e reorganizando, a gente tem:
loga1cdots anx =ln xsumk=1^nln ak =1sumk=1^nln akln x

Passo 5

Por fim, reconhecemos que
ln akln x=1ln x/ln ak=1logakx,
logo cada termo da soma é 1/logakx, e chegamos na identidade pedida.

Resposta

[ \n\log_{a_1a_2\cdots a_n} x = \frac{1}{\frac{1}{\log_{a_1} x} + \frac{1}{\log_{a_2} x} + \cdots + \frac{1}{\log_{a_n} x}}.\n]

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