Mostre que
Passo 1
Aqui o lance é mostrar aquela igualdade envolvendo logaritmos com bases diferentes, e a gente vai usar mudança de base e a propriedade de logaritmo de produto.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a mudança de base pra base natural (ln). Assim,
Isso vem direto de
.
Passo 3
Em seguida, usamos a propriedade de logaritmo de produto:
Passo 4
Substituindo no denominador e reorganizando, a gente tem:
Passo 5
Por fim, reconhecemos que
logo cada termo da soma é
, e chegamos na identidade pedida.
Resposta
[ \n\log_{a_1a_2\cdots a_n} x = \frac{1}{\frac{1}{\log_{a_1} x} + \frac{1}{\log_{a_2} x} + \cdots + \frac{1}{\log_{a_n} x}}.\n]