CALC Um modelo de foguete com defeito se move no plano
(o sentido positivo do eixo vertical
é de baixo para cima). A aceleração do foguete possui os componentes
, onde
e
. Para
, o foguete está na origem e possui velocidade
, sendo
e
. (a) Determine o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo. (b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete? © Qual o deslocamento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um foguete no plano
. O enunciado nos dá as componentes da aceleração do foguete e as condições iniciais de velocidade e posição. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender como integrar aceleração para encontrar a velocidade e a posição, além de aplicar conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para obter a velocidade, precisamos integrar as funções de aceleração.
Temos:
Onde
,
e
.
Passo 3
Vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial
em
:
Então, a velocidade em
é:
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Usando a condição inicial
em
:
Então, a velocidade em
é:
Passo 5
Agora temos o vetor velocidade em função do tempo:
Passo 6
Agora vamos determinar o vetor posição em função do tempo. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Vamos integrar
:
Como
, temos:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Como
, temos:
Portanto:
Resposta
O vetor velocidade em função do tempo é:
E o vetor posição em função do tempo é: