3.40 bul<=t C CALC Um modelo de foguete com defeito se move no plano x y (o sentido positivo do eixo vertical y é de baixo para cima). A aceleração do foguete possui os componentes ax(t)=alpha t^2 e ay(t) =beta-gamma t, onde alpha=2,50 m / s^4, beta=9,0 m / s^2 e gamma=1,40 m / s^3. Para t=0, o foguete está na origem e possui velocidade v0=v0 x imath +v0 y jmath, sendo v0 x=1,00 m / s e v0 y=7,00 m / s. (a) Determine o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo. (b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete? © Qual o deslocamento

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um foguete no plano . O enunciado nos dá as componentes da aceleração do foguete e as condições iniciais de velocidade e posição. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender como integrar aceleração para encontrar a velocidade e a posição, além de aplicar conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para obter a velocidade, precisamos integrar as funções de aceleração.
Temos:
ax(t) = alpha t^2 e ay(t) = beta - gamma t
Onde , e .

Passo 3

Vamos integrar vx(t) = integral ax(t) , dt = integral 2,50 , t^2 , dt = 2,50 cdot t^33 + Cx para encontrar vx(0) = 2,50 cdot 0^33 + Cx = 1,00 Rightarrow Cx = 1,00 , m/s :
vx(t) = 2,503 , t^3 + 1,00
Onde é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial em :
Então, a velocidade em é:

Passo 4

Agora, vamos integrar vy(t) = integral ay(t) , dt = integral (9,0 - 1,40 , t) , dt = 9,0 , t - 1,402 , t^2 + Cy para encontrar vy(0) = 9,0 cdot 0 - 1,402 cdot 0^2 + Cy = 7,00 Rightarrow Cy = 7,00 , m/s :
vy(t) = 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,00
Usando a condição inicial em :
Então, a velocidade em é:

Passo 5

Agora temos o vetor velocidade em função do tempo:
v(t) = vx(t) , imath + vy(t) , jmath = ( 2,503 , t^3 + 1,00 ) imath + ( 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,00 ) jmath

Passo 6

Agora vamos determinar o vetor posição em função do tempo. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Vamos integrar x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( 2,503 , t^3 + 1,00 ) dt = 2,5012 , t^4 + 1,00 , t + Cx' :
0 = 2,5012 cdot 0^4 + 1,00 cdot 0 + Cx' Rightarrow Cx' = 0
Como x(t) = 2,5012 , t^4 + 1,00 , t = 524 , t^4 + t , temos:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos integrar y(t) = integral vy(t) , dt = integral ( 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,00 ) dt = 9,02 , t^2 - 0,703 , t^3 + 7,00 , t + Cy' :
0 = 9,02 cdot 0^2 - 0,703 cdot 0^3 + 7,00 cdot 0 + Cy' Rightarrow Cy' = 0
Como y(t) = 4,5 , t^2 - 0,233 , t^3 + 7,00 , t , temos:
Portanto:

Resposta

O vetor velocidade em função do tempo é:
v(t) = ( 2,503 , t^3 + 1,00 ) imath + ( 9,0 , t - 0,70 , t^2 + 7,00 ) jmath , m/s
E o vetor posição em função do tempo é:
r(t) = ( 524 , t^4 + t ) imath + ( 4,5 , t^2 - 0,233 , t^3 + 7,00 , t ) jmath , m

Exercícios relacionados