Considere uma esfera de raio R=50 cm com carga total Q=8 mu C, distribuída uniformemente em seu volume. Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico E nas seguintes regiões:
b) Fora da esfera (para r >= R ),
Além disso, esboce o gráfico do campo elétrico em função da distância r a partir do centro da esfera

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio R = 50 cm e carga total Q = 8 mu C, distribuída de forma uniforme no volume dela. O que temos que fazer aqui é usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E em uma região específica: fora da esfera, ou seja, para distâncias r >= R. Além disso, vamos esboçar como esse campo elétrico varia em função da distância r a partir do centro da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos uma distribuição de carga com certa simetria. A ideia é escolher uma superfície fechada, chamada de superfície gaussiana, onde a gente pode facilmente calcular o fluxo elétrico.
Como estamos calculando o campo fora da esfera, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio r maior ou igual a R.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico
  • dA é um elemento de área na superfície gaussiana
  • Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, toda a carga Q = 8 mu C está dentro da superfície gaussiana quando r >= R.

Passo 4

Como o campo elétrico E tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é perpendicular à superfície, podemos simplificar a integral:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Agora, isolamos E:
E = Q4pi varepsilon0 r^2

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
  • Q = 8 mu C = 8 times 10^-6 C
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 C^2/Ncdotm^2
  • r >= 50 cm = 0,5 m
Então:
E = 8 times 10^-64pi times 8,85 times 10^-12 times r^2
Podemos simplificar isso, mas geralmente mantemos a expressão em termos de 1r^2 para mostrar como o campo decai com a distância.

Passo 6

Sobre o gráfico do campo elétrico E em função da distância r, para r >= R, ele vai se comportar como uma hipérbole decrescente. Ou seja, quando você aumenta r, o campo E diminui proporcionalmente a 1r^2. No ponto r = R, o campo tem seu valor máximo para essa região, e conforme r aumenta, E vai ficando cada vez menor.

Resposta

O campo elétrico fora da esfera, para r >= R, é dado por:
E = Q4pi varepsilon0 r^2 = 8 times 10^-6 C4pi times 8,85 times 10^-12 C^2/Ncdotm^2 times r^2
Esse campo diminui com o quadrado da distância r a partir do centro da esfera.

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