Considere uma esfera de raio
com carga total
, distribuída uniformemente em seu volume. Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico
nas seguintes regiões:
b) Fora da esfera (para
),
Além disso, esboce o gráfico do campo elétrico em função da distância r a partir do centro da esfera
b) Fora da esfera (para
Além disso, esboce o gráfico do campo elétrico em função da distância r a partir do centro da esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio
e carga total
, distribuída de forma uniforme no volume dela. O que temos que fazer aqui é usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em uma região específica: fora da esfera, ou seja, para distâncias
. Além disso, vamos esboçar como esse campo elétrico varia em função da distância
a partir do centro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos uma distribuição de carga com certa simetria. A ideia é escolher uma superfície fechada, chamada de superfície gaussiana, onde a gente pode facilmente calcular o fluxo elétrico.
Como estamos calculando o campo fora da esfera, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio
maior ou igual a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. A Lei de Gauss diz que:
Onde:
-
é o campo elétrico -
é um elemento de área na superfície gaussiana -
é a carga total dentro da superfície gaussiana -
é a permissividade do vácuo
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana quando
.
Passo 4
Como o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é perpendicular à superfície, podemos simplificar a integral:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos:
Então:
Podemos simplificar isso, mas geralmente mantemos a expressão em termos de
para mostrar como o campo decai com a distância.
Passo 6
Sobre o gráfico do campo elétrico
em função da distância
, para
, ele vai se comportar como uma hipérbole decrescente. Ou seja, quando você aumenta
, o campo
diminui proporcionalmente a
. No ponto
, o campo tem seu valor máximo para essa região, e conforme
aumenta,
vai ficando cada vez menor.
Resposta
O campo elétrico fora da esfera, para
, é dado por:
Esse campo diminui com o quadrado da distância
a partir do centro da esfera.