Atividade 12. Determine a parte principal e a parte analítica da série de Laurent da função
entorno do ponto
, para
.
Passo 1
Tranquilo! O enunciado pede para a gente achar, em torno de
(para
), a série de Laurent de
e, a partir dela, separar a parte principal (termos de potências negativas) e a parte analítica (termos de potência ≥ 0).
Conteúdo envolvido: séries de potências (Maclaurin/ln), definição de série de Laurent e separação de partes principal e regular. Vamos usar a expansão de em
e depois dividir por
.
Conteúdo envolvido: séries de potências (Maclaurin/ln), definição de série de Laurent e separação de partes principal e regular. Vamos usar a expansão de
Passo 2
Primeiro, lembramos a série de Maclaurin de
válida para
:
Isso vem do fato de que a derivada de
é
, e basta integrar termo a termo.
Passo 3
Agora dividimos termo a termo por
:
Esse é justamente o desenvolvimento em série de Laurent em torno de
, válido para
.
Passo 4
Agora a gente identifica os termos de potências negativas (parte principal) e os de potências não-negativas (parte analítica):
- Para
: . - Para
: . - Para
: os expoentes , são a parte analítica.
Escrevendo os primeiros termos:
Resposta
Parte principal:
Parte analítica: