Atividade 12. Determine a parte principal e a parte analítica da série de Laurent da função f(z)=ln (z+1)z^3 entorno do ponto z0=0, para 0<|z|<1.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado pede para a gente achar, em torno de z0=0 (para 0<|z|<1), a série de Laurent de
f(z)=ln(1+z)z^3
e, a partir dela, separar a parte principal (termos de potências negativas) e a parte analítica (termos de potência ≥ 0).
Conteúdo envolvido: séries de potências (Maclaurin/ln), definição de série de Laurent e separação de partes principal e regular. Vamos usar a expansão de ln(1+z) em |z|<1 e depois dividir por z^3.

Passo 2

Primeiro, lembramos a série de Maclaurin de ln(1+z) válida para |z|<1:
ln(1+z)=sumn=1^infty(-1)^n-1,z^nn
Isso vem do fato de que a derivada de ln(1+z) é tfrac11+z=sumn=0^infty(-1)^n z^n, e basta integrar termo a termo.

Passo 3

Agora dividimos termo a termo por z^3:
ln(1+z)z^3 =sumn=1^infty(-1)^n-1,z^nn,1z^3 =sumn=1^infty(-1)^n-1,z^,n-3n
Esse é justamente o desenvolvimento em série de Laurent em torno de 0, válido para 0<|z|<1.

Passo 4

Agora a gente identifica os termos de potências negativas (parte principal) e os de potências não-negativas (parte analítica):
  • Para n=1: (-1)^0z^-21=z^-2.
  • Para n=2: (-1)^1z^-12=-tfrac12,z^-1.
  • Para n>=3: os expoentes n-3>=0, são a parte analítica.
Escrevendo os primeiros termos:
ln(1+z)z^3 =,underbracez^-2-tfrac12,z^-1parte principal ;+;underbracel(tfrac13-tfrac14,z+tfrac15,z^2-cdotsr)parte analítica í

Resposta

Parte principal:
z^-2;-;12,z^-1
Parte analítica:
summ=0^infty(-1)^m,z^mm+3 ;=;13-14,z+15,z^2-cdots

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