(40) Determine as dimensões que maximizam e minimizam a área superficial de um recipiente cônico com tapa semiesférica e capacidade de 1 litro.
Passo 1
O problema pede para otimizar (minimizar e maximizar) a área superficial externa de um recipiente formado por um cone reto fechado por uma semiesfera no vértice, sob a condição de que o volume total seja
litro (isto é,
).
Conteúdo: otimização com restrição de volume. Vamos usar modelagem algébrica para expressar volume e área em função de variáveis geométricas e depois encontrar extremos.
Conteúdo: otimização com restrição de volume. Vamos usar modelagem algébrica para expressar volume e área em função de variáveis geométricas e depois encontrar extremos.
Passo 2
Definimos
raio comum do cone e da semiesfera,
altura do cone,
.
O volume total é
O volume total é
A área superficial externa (sem contar eventual base aberta) é a soma da lateral do cone com a superfície da semiesfera:
Passo 3
Da restrição de volume isolamos
:
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
em função de
apenas. Em vez de trabalhar direto essa expressão complexa, é mais elegante parametrizar pela razão
.
Então
Então
e
Logo
Passo 5
Para achar o extremo interior derivamos
em relação a
e igualamos a zero. O cálculo leva à condição
que, ao manipular e elevar ao quadrado, reduz-se a
Dessa equação, a única raiz positiva é aproximadamente
Passo 6
Substituindo
em
com
, temos
e então
Este ponto dá o mínimo de
.
Passo 7
Para o máximo de
no domínio físico nota-se que, à medida que
, a parte cônica fica muito alta e a área tende a
. Já no limite degenerado
(isto é, só semiesfera de volume
), temos
e
. Nesse ponto a área é localmente maior que em qualquer forma com
, mas o recipiente degenerado não tem parte cônica.
Resposta
Mínima área superficial em
Não há máximo finito de
para
; no limite degenerado
(apenas semiesfera) obtém-se
onde a área é localmente a maior possível mas o cone desaparece.