(40) Determine as dimensões que maximizam e minimizam a área superficial de um recipiente cônico com tapa semiesférica e capacidade de 1 litro.

Passo 1

O problema pede para otimizar (minimizar e maximizar) a área superficial externa de um recipiente formado por um cone reto fechado por uma semiesfera no vértice, sob a condição de que o volume total seja 1 litro (isto é, 1000:cm^3).
Conteúdo: otimização com restrição de volume. Vamos usar modelagem algébrica para expressar volume e área em função de variáveis geométricas e depois encontrar extremos.

Passo 2

Definimos
r = raio comum do cone e da semiesfera,
h = altura do cone,
V=1000:cm^3.
O volume total é
V=13pi r^2h ;+;23pi r^3
A área superficial externa (sem contar eventual base aberta) é a soma da lateral do cone com a superfície da semiesfera:
S=pi rraizr^2+h^2;+;2pi r^2

Passo 3

Da restrição de volume isolamos h:
13pi r^2h =;V-23pi r^3 Longrightarrow h=3Vpi r^2-2r

Passo 4

Substituindo h em S, obtemos S em função de r apenas. Em vez de trabalhar direto essa expressão complexa, é mais elegante parametrizar pela razão
x=hr>0.
Então
V=pi r^33(x+2) Longrightarrow r^3=3Vpi(x+2),
e
S=pi r^2l(raiz1+x^2+2r)
Logo
S(x) =pi l(3Vpi(x+2)r)^!2/3 l(raiz1+x^2+2r)

Passo 5

Para achar o extremo interior derivamos S(x) em relação a x e igualamos a zero. O cálculo leva à condição
xraiz1+x^2,l(raiz1+x^2+2r) =23(x+2),
que, ao manipular e elevar ao quadrado, reduz-se a
x^4+12x^3+16x^2-24x-12=0
Dessa equação, a única raiz positiva é aproximadamente
x=hrapprox1,127

Passo 6

Substituindo x+2approx3,127 em r^3=3V/[pi(x+2)] com V=1000, temos
r^3approx3000picdot3,127approx305,6 Longrightarrow rapprox6,70:cm,
e então
h=x,rapprox1,127times6,70approx7,55:cm
Este ponto dá o mínimo de S.

Passo 7

Para o máximo de S no domínio físico nota-se que, à medida que rto0^+, a parte cônica fica muito alta e a área tende a +infty. Já no limite degenerado hto0 (isto é, só semiesfera de volume V), temos
r^3=3V2pi Longrightarrow r=l(1500pir)^1/3approx7,80:cm,
e h=0. Nesse ponto a área é localmente maior que em qualquer forma com h>0, mas o recipiente degenerado não tem parte cônica.

Resposta

Mínima área superficial em
rapprox6,70:cm, happrox7,55:cm
Não há máximo finito de S para h>0; no limite degenerado h=0 (apenas semiesfera) obtém-se
r=l(tfrac1500pir)^1/3approx7,80:cm, h=0,
onde a área é localmente a maior possível mas o cone desaparece.

Exercícios relacionados