40 Determine 3 C cdot(2 A times B) para os três vetores a seguir.
l A=2,00 i+3,00 j-4,00 k B=-3,00 i+4,00 j+2,00 k C=7,00 i-8,00 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A questão pede para calcular 3 C cdot (2 A times B). Isso envolve operações de produto vetorial e produto escalar. Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores ( A times B) e depois o produto escalar desse resultado com outro vetor ( C). Além disso, vamos aplicar a propriedade de multiplicação escalar fora do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial 2 A times B. Antes disso, vamos simplificar multiplicando o vetor A por 2:
2 A = 2(2i + 3j - 4k) = 4i + 6j - 8k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial 2 A times B. Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores U = u1i + u2j + u3k e V = v1i + v2j + v3k é dado por:
U times V = (u2v3 - u3v2)i - (u1v3 - u3v1)j + (u1v2 - u2v1)k
Aplicando isso aos vetores 2 A = 4i + 6j - 8k e B = -3i + 4j + 2k:
2 A times B = (6 times 2 - (-8) times 4)i - (4 times 2 - (-8) times (-3))j + (4 times 4 - 6 times (-3))k
Calculando cada componente:
i &: 12 - (-32) = 44 j &: 8 - 24 = -16 k &: 16 - (-18) = 34
Portanto:
2 A times B = 44i - 16j + 34k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar C cdot (2 A times B) . O vetor C é dado por 7i - 8j. Note que C não tem componente k, então podemos considerar que a componente k é zero:
C = 7i - 8j + 0k
O produto escalar entre dois vetores U = u1i + u2j + u3k e V = v1i + v2j + v3k é dado por:
U cdot V = u1v1 + u2v2 + u3v3
Aplicando isso:
C cdot (2 A times B) = 7 times 44 + (-8) times (-16) + 0 times 34
Calculando:
= 308 + 128 + 0 = 436

Passo 5

Por fim, vamos multiplicar o resultado por 3, conforme indicado na expressão original:
3 C cdot (2 A times B) = 3 times 436 = 1308

Resposta

3 C cdot (2 A times B) = 1308

Exercícios relacionados