Calcule as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados.
f(z)=raizz+1 e C é qualquer arco que vai de -1-4 i a -1+9 i, passando à direita do ponto -1 . Especifique a raiz quadrada tomando f(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
integralCraizz+1,dz
onde C é qualquer arco de -1-4i a -1+9i passando à direita de -1. Escolhemos o ramo principal de raiz,cdot, com corte ao longo do semieixo real que parte de -1 para a direita, e impondo raiz1=-1 (isto é, f(0)=-1). Como raizz+1 é holomorfa na região que contém C, a integral independe do caminho e basta usar uma primitiva.

Passo 2

Procuramos uma primitiva F tal que F'(z)=raizz+1. Tomando
F(z)=23,(z+1)^3/2,
realmente
F'(z)=23cdot32(z+1)^1/2=raizz+1

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para funções holomorfas,
integralCraizz+1,dz =Fl(-1+9ir)-Fl(-1-4ir)

Passo 4

Calculamos primeiro l(9ir)^3/2 no ramo escolhido. Como raiz9i=-3e^ipi/4 (o sinal é negativo para garantir raiz1=-1), temos
(9i)^3/2=l(raiz9ir)^3 =l(-3e^ipi/4r)^3 =-27,e^3ipi/4 =-27l(-raiz22+iraiz22r) =27raiz22(1 - i)

Passo 5

De modo análogo, para -4i no mesmo ramo, raiz-4i=-2e^-ipi/4, logo
(-4i)^3/2 =l(raiz-4ir)^3 =l(-2e^-ipi/4r)^3 =-8,e^-3ipi/4 =-8l(-tfracraiz22-itfracraiz22r) =4raiz2,(1 + i)

Passo 6

Agora
F(-1+9i)=23,(9i)^3/2 =23cdot27raiz22(1 - i) =27raiz23(1 - i),
F(-1-4i)=23,(-4i)^3/2 =23cdot4raiz2,(1 + i) =8raiz23(1 + i)
Subtraindo,
F(-1+9i)-F(-1-4i) =27raiz23(1 - i) -8raiz23(1 + i) =raiz23l(27(1 - i)-8(1 + i)r)

Passo 7

Expandindo o parêntese:
27(1 - i)-8(1 + i) =(27-27i)-(8+8i) =19-35i,
portanto
integralCraizz+1,dz =raiz23(19-35i) =,-35raiz23+i,19raiz23

Resposta

integralCraizz+1,dz =-35raiz23+i,19raiz23

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