Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função pela condição e tomando para o quadrado de vértices . .
Passo 1
O enunciado pede
onde é o quadrado de vértices , e o ramo de está fixado pela condição
O conteúdo é Aplicar o Teorema dos Resíduos, para isso precisamos:
Definir o ramo de e certificar que ele é analítico dentro de .
Encontrar os polos de e ver quais estão dentro de .
Calcular o resíduo no(s) polo(s) interno(s) e usar .
Passo 2
Definimos como a função que, em termos de , é o ramo de raiz quadrada com corte no eixo real negativo de e tal que
Em particular, para real temos . Escolhendo o corte em z-plano pelas retas imaginárias e , esse ramo é analítico em toda a região interior ao quadrado .
Passo 3
O denominador anula-se em
isto é em
Destes, apenas está dentro do quadrado (pois ), enquanto fica fora.
Passo 4
O polo em é simples. O resíduo é
Como raiztfrac174=tfracraiz172 mas nosso ramo dá sinal negativo em argumentos positivos, fica
raiztfrac174=-raiz172, 8cdottfrac12+4=8,
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Res=-raiz17/28 =-raiz1716
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos, como este é o único polo dentro de C e a raiz está analítica no interior,