Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função raizz^2+4 pela condição raiz4=-2 e tomando para C o quadrado de vértices pm 1 pm i.
ointC raizz^2+44 z^2+4 z-3 d z.

Passo 1

O enunciado pede
ointCraizz^2+44z^2+4z-3,dz
onde C é o quadrado de vértices pm1pm i, e o ramo de raizz^2+4 está fixado pela condição
raiz4=-2
O conteúdo é Aplicar o Teorema dos Resíduos, para isso precisamos:
  1. Definir o ramo de raizz^2+4 e certificar que ele é analítico dentro de C.
  2. Encontrar os polos de dfracraizz^2+44z^2+4z-3 e ver quais estão dentro de C.
  3. Calcular o resíduo no(s) polo(s) interno(s) e usar
    ointC f(z),dz=2pi isumRes.

Passo 2

Definimos raizz^2+4 como a função que, em termos de w=z^2+4, é o ramo de raiz quadrada com corte no eixo real negativo de w e tal que
raiz4=-2
Em particular, para w>0 real temos raizw=-raizwprinc. Escolhendo o corte em z-plano pelas retas imaginárias Im z>2 e Im z<-2, esse ramo é analítico em toda a região interior ao quadrado C.

Passo 3

O denominador 4z^2+4z-3 anula-se em
4z^2+4z-3=0 Longrightarrow z=-4pmraiz16+488 =-4pm88,
isto é em
z1=12, z2=-32
Destes, apenas z1=tfrac12 está dentro do quadrado C (pois -1<tfrac12<1), enquanto z2=-tfrac32 fica fora.

Passo 4

O polo em z1=tfrac12 é simples. O resíduo é
Resg(raizz^2+44z^2+4z-3,,z=tfrac12g) =raizl(tfrac12r)^2+4l(4z^2+4z-3r)',z=12 =raiztfrac14+48z+4|z=12 =raiztfrac1748cdot12+4
Como raiztfrac174=tfracraiz172 mas nosso ramo dá sinal negativo em argumentos positivos, fica
raiztfrac174=-raiz172, 8cdottfrac12+4=8,
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Res=-raiz17/28 =-raiz1716

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos, como este é o único polo dentro de C e a raiz está analítica no interior,
ointCraizz^2+44z^2+4z-3,dz =2pi i;l(-tfracraiz1716r) =-pi iraiz178

Resposta

-pi iraiz178

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