Calcule as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados.
f(z)=1 / z e C vai de -i a+i, passando pelo semiplano Re z>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral da função f(z) = 1z sobre um contorno C que vai de -i a i , passando pelo semiplano onde a parte real de z é positiva ( Re z > 0 ). Isso está relacionado ao tema de integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de contorno e como calcular integrais de funções racionais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função complexa ao longo de um contorno C é definida como:
integralC f(z) , dz
No nosso caso, f(z) = 1z , então a integral fica:
integralC 1z , dz
Nosso objetivo é calcular esse valor ao longo do caminho específico dado.

Passo 3

Agora, precisamos pensar em como o contorno C está definido. Ele vai de -i a i , passando pelo semiplano onde Re z > 0 . Isso significa que nosso caminho começa no ponto -i (que está no eixo imaginário negativo) e vai para i (no eixo imaginário positivo), passando pela parte direita do plano complexo.

Passo 4

Um jeito comum de lidar com integrais como essa é usar o teorema de Cauchy. Esse teorema nos diz que, se uma função é holomorfa (ou seja, analítica) em e sobre um simples contorno fechado, então a integral ao redor desse contorno é zero. Entretanto, nossa função 1z tem um ponto singular em z = 0 , então precisamos ter cuidado.

Passo 5

No nosso caso, o contorno não é fechado, mas podemos fechá-lo adicionando um caminho que vai de i de volta para -i pelo semiplano onde Re z < 0 . Se fizermos isso, teremos um contorno fechado que encerra a singularidade em z = 0 .

Passo 6

Segundo o teorema dos resíduos, a integral de 1z ao redor de um contorno fechado que envolve z = 0 é igual a 2pi i . Mas como nosso contorno original C vai apenas de -i a i pelo semiplano positivo, e o caminho de volta que adicionamos vai pelo semiplano negativo, estamos essencialmente dividindo o contorno total em duas partes iguais.

Passo 7

Portanto, a integral no semiplano positivo C será a metade da integral total ao redor do contorno fechado. Como a integral fechada é 2pi i , a integral sobre C será:
integralC 1z , dz = pi i

Resposta

A integral de f(z) = 1z sobre o contorno C é igual a pi i .

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