Calcule as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados.
e
vai de
, passando pelo semiplano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral da função
sobre um contorno
que vai de
a
, passando pelo semiplano onde a parte real de
é positiva (
). Isso está relacionado ao tema de integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de contorno e como calcular integrais de funções racionais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função complexa ao longo de um contorno
é definida como:
No nosso caso,
, então a integral fica:
Nosso objetivo é calcular esse valor ao longo do caminho específico dado.
Passo 3
Agora, precisamos pensar em como o contorno
está definido. Ele vai de
a
, passando pelo semiplano onde
. Isso significa que nosso caminho começa no ponto
(que está no eixo imaginário negativo) e vai para
(no eixo imaginário positivo), passando pela parte direita do plano complexo.
Passo 4
Um jeito comum de lidar com integrais como essa é usar o teorema de Cauchy. Esse teorema nos diz que, se uma função é holomorfa (ou seja, analítica) em e sobre um simples contorno fechado, então a integral ao redor desse contorno é zero. Entretanto, nossa função
tem um ponto singular em
, então precisamos ter cuidado.
Passo 5
No nosso caso, o contorno não é fechado, mas podemos fechá-lo adicionando um caminho que vai de
de volta para
pelo semiplano onde
. Se fizermos isso, teremos um contorno fechado que encerra a singularidade em
.
Passo 6
Segundo o teorema dos resíduos, a integral de
ao redor de um contorno fechado que envolve
é igual a
. Mas como nosso contorno original
vai apenas de
a
pelo semiplano positivo, e o caminho de volta que adicionamos vai pelo semiplano negativo, estamos essencialmente dividindo o contorno total em duas partes iguais.
Passo 7
Portanto, a integral no semiplano positivo
será a metade da integral total ao redor do contorno fechado. Como a integral fechada é
, a integral sobre
será:
Resposta
A integral de
sobre o contorno
é igual a
.